【高校数学Ⅲ】1-1-3 逆関数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「逆関数」について整理しています。逆関数の定義、求め方、グラフの関係をわかりやすくまとめ、関数との対応や対称性を理解できるように解説します。定期テストや入試対策にも役立つ要点を確認しましょう。
逆関数の定義
【逆関数】
\(x\)の関数\(y=f(x)\)は\(x\)の値を定めるとそれに対応する\(y\)の値がただ\(1\)つ定まり、\(y\)の値を定めるとそれに対応する\(x\)の値がただ\(1\)つ定まるとき、\(x\)と\(y\)を入れかえて、\(x=g(y)\)と表されたものを逆関数といい、\(y=f^{-1}(x)\)で表す。
関数とその逆関数は、定義域と値域が入れかわり、グラフは直線\(y=x\)に関して対称である。
【例題】次の関数の逆関数を求めなさい。
(1)\(y=2x+3\)
\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)
(2)\(y=-3x-1(-1\leqq x\leqq 2)\)
関数の値域は\(-7\leqq y\leqq 2\)
\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}(-7\leqq x\leqq 2)\)
\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}(-7\leqq x\leqq 2)\)
(3)\(\displaystyle y=\frac{4x-3}{2x+1}\)
\(x\)について解くと
\(\displaystyle x=\frac{-y-3}{2y-4}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{-x-3}{2x-4}\)
\(\displaystyle x=\frac{-y-3}{2y-4}\)
よって、逆関数は
\(\displaystyle y=\frac{-x-3}{2x-4}\)
(4)\(y=x^2+1(x\geqq 0)\)
関数の値域は\(y\geqq 1\)
\(x\)について解くと
\(x=\pm\sqrt{y-1}\)
\(x\geqq 0\)より、\(x=\sqrt{y-1}\)
よって、逆関数は
\(y=\sqrt{x-1}\)
\(x\)について解くと
\(x=\pm\sqrt{y-1}\)
\(x\geqq 0\)より、\(x=\sqrt{y-1}\)
よって、逆関数は
\(y=\sqrt{x-1}\)
(5)\(y=2^x\)
\(x\)について解くと
\(x=\log_{2}y\)
よって、逆関数は
\(y=\log_{2}x\)
\(x=\log_{2}y\)
よって、逆関数は
\(y=\log_{2}x\)
(6)\(y=\log_{3}x\)
\(x\)について解くと
\(x=3^y\)
よって、逆関数は
\(y=3^x\)
\(x=3^y\)
よって、逆関数は
\(y=3^x\)
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