1.次の無限級数の収束、発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}\)に収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5}+\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1})\)
\(=\infty\)
発散する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}3・\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{1-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle =6\)
\(\displaystyle 6\)に収束する。
(4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n-1}\)
\(=\infty\)
発散する。
(5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4^n}+\frac{2}{3^n}\right)\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}+\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}+1\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\)
\(\displaystyle \frac{4}{3}\)に収束する。
(6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n-3^n}{4^n}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\)
\(=1-3\)
\(=-2\)
\(-2\)に収束する。
2.次の循環小数を分数に直しなさい。
(1)\(0.\dot{6}\)
\(0.\dot{6}\)は初項:\(0.6\)、公比:\(0.1\)の無限等比級数なので、
\(0.\dot{6}\)
\(\displaystyle =\frac{0.6}{1-0.1}\)
\(\displaystyle =\frac{6}{10-1}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)
(2)\(0.2\dot{3}\dot{4}\)
\(0.0\dot{3}\dot{4}\)は初項:\(0.034\)、公比:\(0.01\)の無限等比級数なので、
\(0.2\dot{3}\dot{4}\)
\(\displaystyle =0.2+\frac{0.034}{1-0.01}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{34}{1000-10}\)
\(\displaystyle =\frac{116}{495}\)
(3)\(0.4\dot{7}0\dot{2}\)
\(0.0\dot{7}0\dot{2}\)は初項:\(0.0702\)、公比:\(0.001\)の無限等比級数なので、
\(0.4\dot{7}0\dot{2}\)
\(\displaystyle =0.4+\frac{0.0702}{1-0.001}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{5}+\frac{702}{10000-10}\)
\(\displaystyle =\frac{87}{185}\)
3.次の無限等比級数が収束するような\(x\)の値を求めなさい。
(1)\(1+(2-x)+(2-x)^2+\cdots\)
無限等比級数が収束する条件は、
\(|2-x|<1\)
\(-1<2-x<1\)
\(-3<-x<-1\)
\(1< x<3\)
(2)\(x+x(2-x)+x(2-x)^2+\cdots\)
\(x=0\)のとき、\(0\)に収束する。
また、無限等比級数が収束する条件は、
\(|2-x|<1\)
\(-1<2-x<1\)
\(-3<-x<-1\)
\(1< x<3\)
よって、
\(x=0,1< x<3\)
4.座標平面上で、点\(P\)が原点\(O\)から正の向きに\(1\)だけ進み、そこから負の向きに\(\displaystyle \frac{1}{2^2}\)、そこから正の向きに\(\displaystyle \frac{1}{2^4}\)、そこから負の向きに\(\displaystyle \frac{1}{2^6}\)と進む。このような運動を限りなく続けるとき、点\(P\)の極限の位置の座標を求めなさい。
点\(P\)の極限の座標は、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{2n-2}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1-(-\frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{5}\)