【高校数学Ⅲ】4-1-3 関数の値の変化｜要点まとめ

関数\(f(x)\)の定義域は\(x\geqq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{1}{4}\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(\displaystyle -\frac{1}{4}\)	\(\nearrow\)

よって、\(f(x)\)は
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{1}{4}\)で減少し、\(\displaystyle x\geqq\frac{1}{4}\)で増加する。

関数\(f(x)\)の定義域は\(x\neq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(\nearrow\)	\(-2\)	\(\searrow\)		\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)

(1)\(x\geqq0\)のとき、
\(f(x)=xe^x\)
\(f'(x)=e^x+xe^x\)
\(=(1+x)e^x\)
(2)\(x<0\)のとき、
\(f(x)=-xe^x\)
\(f'(x)=-e^x-xe^x\)
\(=-(1+x)e^x\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{1}{e}\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{1}{e}\)
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)