4-1-3 関数の値の変化(要点)

【関数の増減】

関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で、開区間\((a,b)\)で微分可能のとき、
(1)区間\((a,b)\)で\(f'(x)> 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で増加する。
(2)区間\((a,b)\)で\(f'(x)< 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で減少する。
(3)区間\((a,b)\)で\(f'(x)= 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で定数である。

【例題】次の関数の増減を調べなさい。

(1)\(f(x)=x-\sqrt{x}\)

関数\(f(x)\)の定義域は\(x\geqq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{1}{4}\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(\displaystyle -\frac{1}{4}\)	\(\nearrow\)

よって、\(f(x)\)は
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{1}{4}\)で減少し、\(\displaystyle x\geqq\frac{1}{4}\)で増加する。

【関数の極大・極小】

関数\(f(x)\)において、\(f'(x)=0\)となる\(x\)の値の前後で、\(f'(x)\)が
正から負に変わるとき、\(f(x)\)は極大値になる。
負から正に変わるとき、\(f(x)\)は極小値になる。
極大値と極小値を合わせて極値という。

微分可能な関数\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるとき、\(f'(a)=0\)である。

【例題】次の関数の極値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\)

関数\(f(x)\)の定義域は\(x\neq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(\nearrow\)	\(-2\)	\(\searrow\)		\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)

(2)\(f(x)=|x|e^x\)

(1)\(x\geqq0\)のとき、
\(f(x)=xe^x\)
\(f'(x)=e^x+xe^x\)
\(=(1+x)e^x\)
(2)\(x<0\)のとき、
\(f(x)=-xe^x\)
\(f'(x)=-e^x-xe^x\)
\(=-(1+x)e^x\)
増減表にまとめると、

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{1}{e}\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{1}{e}\)
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)