【高校数学Ⅲ】4-1-3 関数の値の変化｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「関数の値の変化」について整理しています。関数の増減や極大・極小の求め方、増減表の作り方を通して、微分を使った関数の解析方法を理解します。グラフの形の特徴を読み取り、入試問題にも対応できる応用力を身につけましょう。
関数の増減と単調性
【関数の増減】
関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で、開区間\((a,b)\)で微分可能のとき、
(1)区間\((a,b)\)で\(f'(x)> 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で増加する。
(2)区間\((a,b)\)で\(f'(x)< 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で減少する。
(3)区間\((a,b)\)で\(f'(x)= 0\)ならば、\(f(x)\)は区間\([a,b]\)で定数である。
【例題】次の関数の増減を調べなさい。
(1)\(f(x)=x-\sqrt{x}\)
関数\(f(x)\)の定義域は\(x\geqq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\)
増減表にまとめると、
よって、\(f(x)\)は
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{1}{4}\)で減少し、\(\displaystyle x\geqq\frac{1}{4}\)で増加する。
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{1}{4}\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{4}\) | \(\nearrow\) |
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{1}{4}\)で減少し、\(\displaystyle x\geqq\frac{1}{4}\)で増加する。
極大・極小とその求め方
【関数の極大・極小】
関数\(f(x)\)において、\(f'(x)=0\)となる\(x\)の値の前後で、\(f'(x)\)が
正から負に変わるとき、\(f(x)\)は極大値になる。
負から正に変わるとき、\(f(x)\)は極小値になる。
極大値と極小値を合わせて極値という。
微分可能な関数\(f(x)\)が\(x=a\)で極値をとるとき、\(f'(a)=0\)である。
【例題】次の関数の極値を求めなさい。
(1)\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x}\)
関数\(f(x)\)の定義域は\(x\neq0\)である。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(-2\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\nearrow\) |
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)
(2)\(f(x)=|x|e^x\)
(1)\(x\geqq0\)のとき、
\(f(x)=xe^x\)
\(f'(x)=e^x+xe^x\)
\(=(1+x)e^x\)
(2)\(x<0\)のとき、
\(f(x)=-xe^x\)
\(f'(x)=-e^x-xe^x\)
\(=-(1+x)e^x\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{1}{e}\)
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(f(x)=xe^x\)
\(f'(x)=e^x+xe^x\)
\(=(1+x)e^x\)
(2)\(x<0\)のとき、
\(f(x)=-xe^x\)
\(f'(x)=-e^x-xe^x\)
\(=-(1+x)e^x\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{e}\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{1}{e}\)
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
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