合成関数
【合成関数】
\(y\)が\(u\)の関数で\(y=g(u)\)と表され、\(u\)が\(x\)の関数で\(u=f(x)\)と表されるとき、\(y\)は\(x\)の関数となる。その関数を\(f\)と\(g\)の合成関数といい、
\(y=g(f(x))\)または\(y=(g\circ f)(x)\)
で表す。
また、関数\(y=f(x)\)とその逆関数\(y=f^{-1}(x)\)の合成関数は、次のようになる。
\((f\circ f^{-1})(x)=x\)
\((f^{-1}\circ f)(x)=x\)
【例題】\(f(x)=x^2-1,g(x)=\cos x,h(x)=2x+3\)のとき、次の値を求めなさい。
(1)\((g\circ f)(x)\)
\(=g(f(x))\)
\(=g(x^2-1)\)
\(=\cos(x^2-1)\)
(2)\((f\circ g)(x)\)
\(=f(g(x))\)
\(=f(\cos x)\)
\(=\cos^2x-1\)
(3)\((h\circ(g\circ f))(x)\)
\(=h(\cos(x^2-1))\)
\(=2\cos(x^2-1)+3\)
(4)\((h\circ g)\circ f)(x)\)
\(=2\cos f(x)+3\)
\(=2\cos(x^2-1)+3\)