2-2-2 いろいろな関数の極限(要点)

【指数関数の極限】

指数関数\(f(x)=a^x\)の極限
(1)\(a>1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0\)

(2)\(0< a<1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=\infty\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2^x\)

\(=0\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3^x-4^x}{2^x+3^x}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{1-(\frac{4}{3})^x}{(\frac{2}{3})^x+1}\)
\(\displaystyle =-\infty\)

【対数関数の極限】

指数関数\(f(x)=\log_{a}x\)の極限
(1)\(a>1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{a}x=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{a}x=\infty\)

(2)\(0< a<1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{a}x=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{a}x=-\infty\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{2}\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}-\log_{2}x\)
\(=-\infty\)

【三角関数の極限】

三角関数の極限に関して、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\sin{\frac{1}{x}}\)

\(=0\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}+0}\tan x\)

\(=-\infty\)

(3)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\)

\(-1\leqq\sin x\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{x}\leqq\frac{\sin x}{x}\leqq\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}\leqq\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\leqq\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0\)

(4)\(\displaystyle \lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle 0\leqq\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leqq1\)より、
\(\displaystyle 0\leqq|x|\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leqq|x|\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{x\to0}\left|x\cos\frac{1}{x}\right|\leqq\lim_{x\to0}|x|\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}=0\)

(5)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}・\frac{1}{\cos x}\)
\(\displaystyle =1\)

(6)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin2x}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{1}{2}・\frac{2x}{\sin2x}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)

(7)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2・\frac{1}{(1+\cos x)}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)