【高校数学Ⅲ】2-2-2 いろいろな関数の極限｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅲの「いろいろな関数の極限」について整理しています。指数関数・対数関数・三角関数の極限を中心に、それぞれの関数の特徴と極限の求め方をわかりやすく解説します。複雑な式の極限や基本公式の導出を通して、大学入試に対応できる実践的な理解を身につけましょう。

指数関数の極限の求め方と代表的な計算例

【指数関数の極限】
指数関数\(f(x)=a^x\)の極限
(1)\(a>1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0\)

(2)\(0< a<1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=\infty\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2^x\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3^x-4^x}{2^x+3^x}\)

対数関数の極限の性質と応用

【対数関数の極限】
指数関数\(f(x)=\log_{a}x\)の極限
(1)\(a>1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{a}x=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{a}x=\infty\)

(2)\(0< a<1\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\log_{a}x=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{a}x=-\infty\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_{2}\frac{1}{x}\)

三角関数の極限｜重要公式と典型問題

【三角関数の極限】
三角関数の極限に関して、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)

【例題】次の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\sin{\frac{1}{x}}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}+0}\tan x\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}\)
(4)\(\displaystyle \lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}\)
(5)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\)
(6)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin2x}\)
(7)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
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