【高校数学Ⅲ】2-2-3 連続関数｜問題集

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}x[x]=0・0=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}x[x]=0・(-1)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}x[x]=\lim_{x\to-0}x[x]\)より、\(f(x)\)は\(x=0\)で連続である。

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}(x+1)[x]=1・0=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}(x+1)[x]=1・(-1)=-1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}(x+1)[x]\neq\lim_{x\to-0}(x+1)[x]\)より、\(f(x)\)は\(x=0\)で不連続である。

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\sqrt{x}=0\)
\(f(x)\)は\(x=0\)で連続である。

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}(x+1)=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to-0}(x+1)\)より、\(f(x)\)は\(x=0\)で連続である。

定義域は\(x\leqq1\)なので
\((-\infty,1]\)

\(\displaystyle =\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}\)
定義域は\(x\neq1,2\)なので
\((-\infty,1)、(1,2)、(2,\infty)\)

\(\displaystyle f(x)=\log_{2}(x+1)-\left(\frac{1}{2}\right)^x\)とおくと、\(f(x)\)は区間\(\displaystyle 0\leqq x\leqq 1\)で連続で
\(\displaystyle f(0)=\log_{2}1-\left(\frac{1}{2}\right)^0=0-1=-1\)
\(\displaystyle f(1)=\log_{2}2-\left(\frac{1}{2}\right)^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、中間値の定理より\(\displaystyle f(c)=0\)となる\(c\)が\(\displaystyle 0\leqq x\leqq1\)にあるので、少なくとも\(1\)つの実数解をもつ。

\(f(x)=x-\cos x\)とおくと、\(f(x)\)は区間\(0\leqq x\leqq \pi\)で連続で
\(f(0)=0-\cos0=0-1=-1\)
\(f(\pi)=\pi-\cos\pi=\pi+1\)
よって、中間値の定理より\(\displaystyle f(c)=0\)となる\(c\)が\(\displaystyle 0\leqq x\leqq\pi\)にあるので、少なくとも\(1\)つの実数解をもつ。

\(f(x)=2^x-3x\)とおくと、\(f(x)\)は区間\(3\leqq x\leqq4\)で連続で
\(f(3)=2^3-3・3=8-9=-1\)
\(f(4)=2^4-3・4=16-12=4\)
よって、中間値の定理より\(\displaystyle f(c)=0\)となる\(c\)が\(\displaystyle 3\leqq x\leqq4\)にあるので、少なくとも\(1\)つの実数解をもつ。