4-1-5 いろいろな応用(要点)

【例題】\(x>0\)のとき、不等式\(\log x\leqq x-1\)が成り立つことを証明しなさい。

\(f(x)=\log x-(x-1)\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-1\)
\(\displaystyle =\frac{1-x}{x}\)
増減表にまとめると、

\(x=1\)のとき、最大値\(0\)をとるので\(f(x)\leqq0\)
よって、
\(x>0\)のとき、\(\log x\leqq x-1\)
\(x=1\)のとき、等号が成り立つ。

【例題】\(a\)が定数のとき、方程式\(e^x=ax\)の異なる実数解の個数を求めなさい。

\(\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-1)e^x}{x^2}\)
増減表にまとめると、

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+0}f(x)=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。

このグラフと\(y=a\)との共有点の個数が求める実数解の個数なので、
\(a<0\)のとき、\(1\)個
\(0\leqq a< e\)のとき、\(0\)個
\(a=1\)のとき、\(1\)個
\(a>e\)のとき、\(2\)個

【例題】\(x\)の関数\(y\)が\(\theta\)を媒介変数として\(x=\theta-\sin\theta,y=1-\cos\theta\)で表されるとき、\(0\leqq\theta\leqq2\pi\)における最大値、最小値を求めなさい。

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=1-\cos\theta\)
\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\sin\theta\)
増減表にまとめると、

したがって、
\(x=0,2\pi\)のとき、最小値\(0\)
\(x=\pi\)のとき、最大値\(2\)