【高校数学Ⅲ】4-1-5 いろいろな応用｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「いろいろな応用」について整理しています。方程式や不等式への応用、媒介変数関数の最大・最小の求め方をわかりやすく解説し、問題を解く際の考え方や手順を丁寧に整理します。応用力を身につけ、入試問題にも対応できる実践的な力を養いましょう。
方程式・不等式への応用問題の解き方
【例題】\(x>0\)のとき、不等式\(\log x\leqq x-1\)が成り立つことを証明しなさい。
\(f(x)=\log x-(x-1)\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-1\)
\(\displaystyle =\frac{1-x}{x}\)
増減表にまとめると、
\(x=1\)のとき、最大値\(0\)をとるので\(f(x)\leqq0\)
よって、
\(x>0\)のとき、\(\log x\leqq x-1\)
\(x=1\)のとき、等号が成り立つ。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-1\)
\(\displaystyle =\frac{1-x}{x}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| \(f(x)\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) |
よって、
\(x>0\)のとき、\(\log x\leqq x-1\)
\(x=1\)のとき、等号が成り立つ。
【例題】\(a\)が定数のとき、方程式\(e^x=ax\)の異なる実数解の個数を求めなさい。
\(\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-1)e^x}{x^2}\)
増減表にまとめると、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\)より、
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+0}f(x)=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。
このグラフと\(y=a\)との共有点の個数が求める実数解の個数なので、
\(a<0\)のとき、\(1\)個
\(0\leqq a< e\)のとき、\(0\)個
\(a=e\)のとき、\(1\)個
\(a>e\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{(x-1)e^x}{x^2}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(e\) | \(\nearrow\) |
\(x\)軸は漸近線である。
\(\displaystyle \lim_{x\to-0}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+0}f(x)=\infty\)より、
\(y\)軸は漸近線である。
このグラフと\(y=a\)との共有点の個数が求める実数解の個数なので、
\(a<0\)のとき、\(1\)個
\(0\leqq a< e\)のとき、\(0\)個
\(a=e\)のとき、\(1\)個
\(a>e\)のとき、\(2\)個
媒介変数関数の最大・最小の求め方
【例題】\(x\)の関数\(y\)が\(\theta\)を媒介変数として\(x=\theta-\sin\theta,y=1-\cos\theta\)で表されるとき、\(0\leqq\theta\leqq2\pi\)における最大値、最小値を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=1-\cos\theta\)
\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\sin\theta\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=0,2\pi\)のとき、最小値\(0\)
\(x=\pi\)のとき、最大値\(2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\sin\theta\)
増減表にまとめると、
| \(\theta\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\pi\) | \(\cdots\) | \(2\pi\) |
| \(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) |
| \(x\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\pi\) | \(\nearrow\) | \(2\pi\) |
| \(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(x=0,2\pi\)のとき、最小値\(0\)
\(x=\pi\)のとき、最大値\(2\)
次の学習に進もう！