5-1-3 いろいろな不定積分(要点)

【分数関数に関する不定積分】

(1)分子の次数の方が大きい場合、組立除法を使用して次数を下げる。
(2)分母の次数の方が大きい場合、部分分数に分解する。

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\frac{x^2}{x+1}dx\)

\(x^2=(x+1)(x-1)+1\)より、
\(\displaystyle =\int\frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1}dx\)
\(\displaystyle =\int\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}x^2-x+\log|x+1|+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)

(2)\(\displaystyle \int\frac{2}{x^2-1}dx\)

\(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\)より、
\(\displaystyle =\int\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx\)
\(\displaystyle =-\log|x+1|+\log|x-1|+C\)
\(\displaystyle =\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)

【三角関数に関する不定積分】

(1)三角関数の相互関係の公式を利用する。
(2)三角関数の2倍角の公式を利用する。
(3)三角関数の積和の公式を利用する。

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\sin^3xdx\)

\(\displaystyle =\int(1-\cos^2x)\sin xdx\)
\(\cos x=t\)とおくと、\(-\sin xdx=dt\)なので、
\(\displaystyle =\int(t^2+1)dt\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}t^3-t+C\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)

(2)\(\displaystyle \int\cos^2xdx\)

\(\displaystyle \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\)より、
\(\displaystyle =\int\frac{1+\cos2x}{2}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin2x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)

(3)\(\displaystyle \int\sin3x\cos2xdx\)

\(\displaystyle \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\)より、
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int\{\sin(3x+2x)+\sin(3x-2x)\}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int(\sin5x+\sin x)dx\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{10}\cos5x-\frac{1}{2}\cos x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)