【高校数学Ⅲ】4-1-6 速度と加速度｜問題集
1.地上から初速度\(v_0\)(m/s)でボールを真上に投げるとき、\(t\)秒後の高さ\(x\)は\(\displaystyle x=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)で与えられている。\(g\)は定数とする。\(t\)秒後のボールの速度\(v\)(m/s)と加速度\(a\)(m/s\(^2\))を求めなさい。
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=v_0-gt\)(m/s)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=-g\)(m/s\(^2\))
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=-g\)(m/s\(^2\))
2.数直線上の動点\(P\)の座標\(x\)が時刻\(t\)の関数として\(x=t^2-6t\)と表されるとき、速さと加速度の大きさを求めなさい。
(1)\(t=3\)
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=2t-6\)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=2\)
よって、\(t=3\)のとき、
\(|v|=0,|a|=2\)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=2\)
よって、\(t=3\)のとき、
\(|v|=0,|a|=2\)
(2)\(t=6\)
\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=2t-6\)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=2\)
よって、\(t=6\)のとき、
\(|v|=6,|a|=2\)
\(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=2\)
よって、\(t=6\)のとき、
\(|v|=6,|a|=2\)
3.座標平面上を運動する点\(P\)の座標が時刻\(t\)の関数として、次のように表されるとき、速さと加速度の大きさを求めなさい。
(1)\(x=2t+1,y=t^2-4t,t=3\)のとき
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t-4\)
よって、\(t=3\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(2・3-4)^2}=2\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=2\)
よって、\(t=3\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(|\vec{a}|=\sqrt{0^2+2^2}=2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t-4\)
よって、\(t=3\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(2・3-4)^2}=2\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=2\)
よって、\(t=3\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(|\vec{a}|=\sqrt{0^2+2^2}=2\)
(2)\(\displaystyle x=t+\frac{1}{t},y=t-\frac{1}{t},t=1\)のとき
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}\)
よって、\(t=1\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\left(1-\frac{1}{1^2}\right)^2+\left(1+\frac{1}{1^2}\right)^2}=2\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{2}{t^3}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{2}{t^3}\)
よって、\(t=1\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{2}{1^3}\right)^2+\left(-\frac{2}{1^3}\right)^2}=2\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}\)
よって、\(t=1\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\left(1-\frac{1}{1^2}\right)^2+\left(1+\frac{1}{1^2}\right)^2}=2\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{2}{t^3}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{2}{t^3}\)
よって、\(t=1\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{2}{1^3}\right)^2+\left(-\frac{2}{1^3}\right)^2}=2\sqrt{2}\)
(3)\(x=2\cos\pi t,y=2\sin\pi t,t=3\)のとき
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\pi\sin\pi t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=2\pi\cos\pi t\)
よって、\(t=3\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-2\pi\sin3\pi)^2+(2\pi\cos3\pi)^2}=2\pi\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-2\pi^2\cos\pi t\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-2\pi^2\sin\pi t\)
よって、\(t=3\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(|\vec{a}|=\sqrt{(-2\pi^2\cos3\pi)^2+(-2\pi^2\sin3\pi)^2}=2\pi^2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=2\pi\cos\pi t\)
よって、\(t=3\)における速さ\(|\vec{v}|\)は
\(|\vec{v}|=\sqrt{(-2\pi\sin3\pi)^2+(2\pi\cos3\pi)^2}=2\pi\)
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-2\pi^2\cos\pi t\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-2\pi^2\sin\pi t\)
よって、\(t=3\)における加速度の大きさ\(|\vec{a}|\)は
\(|\vec{a}|=\sqrt{(-2\pi^2\cos3\pi)^2+(-2\pi^2\sin3\pi)^2}=2\pi^2\)
4.球形のシャボン玉の体積が\(40\)(cm\(^3\)/s)の割合でふくらんでいる。半径が\(2\)(cm)になった瞬間における表面積の増加する速度を求めなさい。
球の半径\(r\)(cm)、表面積を\(S\)(cm\(^2\))、体積を\(V\)(cm\(^3\))とすると、
\(\displaystyle S=4\pi r^2,V=\frac{4\pi r^3}{3}\)
\(r,S,V\)は\(t\)の関数なので、微分すると
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}\)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=40\)より、
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{10}{\pi r^2}\)
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{80}{r}\)
よって、\(r=2\)の瞬間における表面積の増加する速度は
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=40\)(cm\(^2\)/s)
\(\displaystyle S=4\pi r^2,V=\frac{4\pi r^3}{3}\)
\(r,S,V\)は\(t\)の関数なので、微分すると
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}\)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=40\)より、
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{10}{\pi r^2}\)
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{80}{r}\)
よって、\(r=2\)の瞬間における表面積の増加する速度は
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=40\)(cm\(^2\)/s)
次の学習に進もう！