【高校数学Ⅲ】4-1-2 平均値の定理｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅲの「平均値の定理」について整理しています。定義や成り立つ条件、証明の考え方をわかりやすく解説し、代表的な計算例や応用問題を通して理解を深めます。大学入試レベルの問題にも対応できる力を身につけましょう。
平均値の定理の定義と条件
【平均値の定理】
関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で、開区間\((a,b)\)で微分可能ならば、
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\)
\(a< c< b\)を満たす\(c\)が少なくとも\(1\)つ存在する。
【例題】次の場合に、平均値の定理における\(c\)の値を求めなさい。
(1)\(f(x)=x^3,a=-1,b=2\)
\(\displaystyle \frac{f(2)-f(-1)}{2+1}=f'(c)\)
\(\displaystyle \frac{8+1}{3}=3c^2\)
\(c=1\)
\(\displaystyle \frac{8+1}{3}=3c^2\)
\(c=1\)
(2)\(f(x)=x^2,a=0,b=2\)
\(\displaystyle \frac{f(2)-f(0)}{2-0}=f'(c)\)
\(\displaystyle \frac{4-0}{2}=2c\)
\(c=1\)
\(\displaystyle \frac{4-0}{2}=2c\)
\(c=1\)
(3)\(f(x)=\sqrt{x},a=1,b=4\)
\(\displaystyle \frac{f(4)-f(1)}{4-1}=f'(c)\)
\(\displaystyle \frac{2-1}{3}=\frac{1}{2\sqrt{c}}\)
\(\displaystyle c=\frac{9}{4}\)
\(\displaystyle \frac{2-1}{3}=\frac{1}{2\sqrt{c}}\)
\(\displaystyle c=\frac{9}{4}\)
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