【線形代数】5-1-1 集合｜要点まとめ

集合

【集合】
それに含まれる「もの」がはっきりしているような「もの」の集まりを集合という。集合に含まれている1つ1つの「もの」をその集合の要素という。\(a\)が集合\(A\)の要素であることを
\(a\in A\)
で表し、\(a\)は\(A\)に属するという。\(b\)が\(A\)に属さないことは
\(b\notin A\)
で表す。

【集合の種類】
(1)要素を一つも含まない集合を空集合といい、\(\emptyset\)という記号で表す。
(2)自然数全体の集合を\(\mathbb{N}\)という記号で表す。
(3)整数全体の集合を\(\mathbb{Z}\)という記号で表す。
(4)有理数全体の集合を\(\mathbb{Q}\)という記号で表す。
(5)実数全体の集合を\(\mathbb{R}\)という記号で表す。
(6)複素数全体の集合を\(\mathbb{C}\)という記号で表す。

【部分集合】
\(A\)と\(B\)を集合とする。\(B\)の任意の要素が\(A\)にも属するとき、\(B\)は\(A\)の部分集合といい、
\(B\subset A\)
で表し、空集合\(\emptyset\)は任意の集合の部分集合であるとする。
また\(B\)が\(A\)の部分集合でないときは
\(B\not\subset A\)
で表す。

【和集合・共通集合】
\(A\)と\(B\)を集合とする。このとき
\(A\cup B=\{x|x\in A\)または\(x\in B\}\)
を\(A\)と\(B\)の和集合という。また、
\(A\cap B=\{x|x\in A,x\in B\}\)
を\(A\)と\(B\)の共通集合という。

【全体集合・補集合】
対象の要素全体の集合を全体集合という。\(U\)を全体集合、\(A\)を\(U\)の部分集合とするとき、
\(A^c=\{x\in U|x\notin A\}\)
を\(A\)の補集合という。

【ド・モルガンの法則】
\(U\)を全体集合、\(A\)と\(B\)を\(U\)の部分集合とするとき、
\((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)
\((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\)
が成り立つ。