【線形代数】4-5-3 クラメルの公式｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「クラメルの公式」を用いた連立一次方程式の解法について分かりやすく解説します。公式の意味や適用条件、具体的な計算手順を例題・丁寧な解答付きで効率よく確認できます。
クラメルの公式
【クラメルの公式】
\(A\)をn次正則行列とし、\(A=\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)を列ベクトル分解とする。\(\mathbf{b}\)をn次数ベクトルとする。このとき、\(A\)を係数行列とする連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)の解\(\mathbf{x}\)の第\(j\)成分\(x_j\)は
\(\displaystyle x_j=\frac{\begin{vmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{j-1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_{j+1} & \cdots & \mathbf{a}_n\end{vmatrix}}{\det A}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\det A}\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1} & b_i & a_{i,j+1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\)
で与えられる。
【例題】次の連立一次方程式の解を求めなさい。
\(\det A=\begin{vmatrix}1 & 5 & 22 \\ 1 & 6 & 26 \\ 1 & 8 & 35\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 22 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 13\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 22 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=1\)
よって、\(A\)は正則で
\(\displaystyle x_1=\frac{\begin{vmatrix}\mathbf{b} & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\end{vmatrix}}{\det A}\)
\(=\begin{vmatrix} 77 & 5 & 22 \\ 91 & 6 & 26 \\ 122 & 8 & 35\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 77 & 5 & 22 \\ 14 & 1 & 4 \\ 122 & 8 & 35\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 14 & 1 & 4 \\ 10 & 0 & 3\end{vmatrix}\)
\(=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 10 & 3\end{vmatrix}\)
\(=1\)
\(\displaystyle x_2=\frac{\begin{vmatrix}\mathbf{a_1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_3\end{vmatrix}}{\det A}\)
\(=\begin{vmatrix} 1 & 77 & 22 \\ 1 & 91 & 26 \\ 1& 122 & 35\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 1 & 77 & 22 \\ 0 & 14 & 4 \\ 0 & 45 & 13\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 14 & 4 \\ 45 & 13\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 14 & 4 \\ 3 & 1\end{vmatrix}\)
\(=2\)
\(\displaystyle x_3=\frac{\begin{vmatrix}\mathbf{a_1} & \mathbf{a}_2 & \mathbf{b}\end{vmatrix}}{\det A}\)
\(=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 77 \\ 1 & 6 & 91 \\ 1& 8 & 122\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 77 \\ 0 & 1 & 14 \\ 0 & 3 & 45\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 77 \\ 0 & 1 & 14 \\ 0 & 0 & 3\end{vmatrix}\)
\(=3\)