【線形代数】5-2-1 ベクトル空間｜問題集
1.実数全体で定義された\(C^2\)級関数全体のなす実ベクトル空間\(C^2(\mathbb{R})\)について、その部分集合\(W\)が\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間かどうか判定しなさい。
(1)\(\displaystyle W=\left\{\left. f\right|f'(x)=0\right\}\)
\(\mathbf{0}\in W\)より、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f'(x)=0,\ \ g'(x)=0\)
すなわち\(\alpha f+\beta g\)を微分すると
\((\alpha f+\beta g)'(x)\)
\(=\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}'\)
\(=\alpha f'(x)+\beta g'(x)\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f'(x)=0,\ \ g'(x)=0\)
すなわち\(\alpha f+\beta g\)を微分すると
\((\alpha f+\beta g)'(x)\)
\(=\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}'\)
\(=\alpha f'(x)+\beta g'(x)\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(2)\(\displaystyle W=\left\{\left. f\right|f'(x)=1\right\}\)
\(\mathbf{0}\not\in W\)であるから、\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間ではない。
(3)\(\displaystyle W=\left\{\left. f\right|f''(x)=-f(x)\right\}\)
\(\mathbf{0}\in W\)より、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f''(x)=-f(x),\ \ g''(x)=-g(x)\)
すなわち\(\alpha f+\beta g\)を2回微分すると
\((\alpha f+\beta g)''(x)\)
\(=\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}''\)
\(=\alpha f''(x)+\beta g''(x)\)
\(=\alpha\{-f(x)\}+\beta\{-g(x)\}\)
\(=-\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}\)
\(=-(\alpha f+\beta g)(x)\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f''(x)=-f(x),\ \ g''(x)=-g(x)\)
すなわち\(\alpha f+\beta g\)を2回微分すると
\((\alpha f+\beta g)''(x)\)
\(=\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}''\)
\(=\alpha f''(x)+\beta g''(x)\)
\(=\alpha\{-f(x)\}+\beta\{-g(x)\}\)
\(=-\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}\)
\(=-(\alpha f+\beta g)(x)\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(4)\(\displaystyle W=\left\{\left. f\right|f(2)=0\right\}\)
\(\mathbf{0}\in W\)より、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f(2)=0,\ \ g(2)=0\)
すなわち
\((\alpha f+\beta g)(2)\)
\(=\alpha f(2)+\beta g(2)\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(f(2)=0,\ \ g(2)=0\)
すなわち
\((\alpha f+\beta g)(2)\)
\(=\alpha f(2)+\beta g(2)\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(5)\(\displaystyle W=\left\{f\left|\int_0^1f(x)dx=0\right. \right\}\)
\(\mathbf{0}\in W\)より、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(\displaystyle \int_0^1f(x)dx=0,\ \ \int_0^1g(x)dx=0\)
すなわち
\(\int_0^1(\alpha f+\beta g)(x)dx\)
\(=\int_0^1\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}dx\)
\(=\alpha\int_0^1f(x)dx+\beta\int_0^1g(x)dx\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(f,g\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(\displaystyle \int_0^1f(x)dx=0,\ \ \int_0^1g(x)dx=0\)
すなわち
\(\int_0^1(\alpha f+\beta g)(x)dx\)
\(=\int_0^1\{\alpha f(x)+\beta g(x)\}dx\)
\(=\alpha\int_0^1f(x)dx+\beta\int_0^1g(x)dx\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha f+\beta g\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(6)\(\displaystyle W=\left\{f\left|\int_{-1}^1f(x)dx=5\right. \right\}\)
\(\mathbf{0}\not\in W\)であるから、\(W\)は\(C^2(\mathbb{R})\)の部分空間ではない。
2.次の条件で部分空間になるか証明しなさい。
(1)\(A\in M_{m\times n}\)に対して、\(A\)を係数行列とする斉次連立一次方程式の解全体のなす集合\(W=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n|A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\)は\(\mathbb{R}^n\)の部分空間になる。
\(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\)より、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0},\ \ A\mathbf{y}=\mathbf{0}\)
すなわち
\(A(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})\)
\(=\alpha A\mathbf{x}+\beta A\mathbf{y}\)
\(=\alpha\mathbf{0}+\beta\mathbf{0}\)
\(=\mathbf{0}\)
ゆえに\(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(\mathbb{R}^n\)の部分空間である。
また、\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0},\ \ A\mathbf{y}=\mathbf{0}\)
すなわち
\(A(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})\)
\(=\alpha A\mathbf{x}+\beta A\mathbf{y}\)
\(=\alpha\mathbf{0}+\beta\mathbf{0}\)
\(=\mathbf{0}\)
ゆえに\(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(\mathbb{R}^n\)の部分空間である。
(2)複素ベクトル空間\(M_n(\mathbb{C})\)の部分集合\(W=\{A\in M_n\mathbb{C}|trA=0\}\)は\(M_n(\mathbb{C})\)の部分空間になる。
\(tr\mathbf{0}=0\)より、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)とおくと、
\(trA=0,\ \ trB=0\)
すなわち
\(tr(\alpha A+\beta B)\)
\(=\alpha trA+\beta trB\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{C})\)の部分空間である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)とおくと、
\(trA=0,\ \ trB=0\)
すなわち
\(tr(\alpha A+\beta B)\)
\(=\alpha trA+\beta trB\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{C})\)の部分空間である。
(3)実ベクトル空間\(M_n(\mathbb{R})\)の部分集合
\(W=\{A\in M_n\mathbb{R}|A\)は対称行列\(\}\)
は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間になる。
\(W=\{A\in M_n\mathbb{R}|A\)は対称行列\(\}\)
は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間になる。
\(\mathbf{0}^T=\mathbf{0}\)より、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A^T=A,\ \ B^T=B\)
すなわち
\((\alpha A+\beta B)^T\)
\(=\alpha A^T+\beta B^T\)
\(=\alpha A+\beta B\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A^T=A,\ \ B^T=B\)
すなわち
\((\alpha A+\beta B)^T\)
\(=\alpha A^T+\beta B^T\)
\(=\alpha A+\beta B\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(4)実ベクトル空間\(M_n(\mathbb{R})\)の部分集合
\(W=\{A\in M_n\mathbb{R}|A\)は交代行列\(\}\)
は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間になる。
\(W=\{A\in M_n\mathbb{R}|A\)は交代行列\(\}\)
は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間になる。
\(\mathbf{0}^T=-\mathbf{0}\)より、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A^T=-A,\ \ B^T=-B\)
すなわち
\((\alpha A+\beta B)^T\)
\(=\alpha A^T+\beta B^T\)
\(=\alpha(-A)+\beta(-B)\)
\(=-(\alpha A+\beta B)\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間である。
また、\(A,B\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(A^T=-A,\ \ B^T=-B\)
すなわち
\((\alpha A+\beta B)^T\)
\(=\alpha A^T+\beta B^T\)
\(=\alpha(-A)+\beta(-B)\)
\(=-(\alpha A+\beta B)\)
ゆえに\(\alpha A+\beta B\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(M_n(\mathbb{R})\)の部分空間である。
(5)実数列全体のなす実ベクトル空間\(S=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty|a_n\in\mathbb{R}(n\in\mathbb{N})\}\)の部分集合\(W=\{\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty\in S|a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n=0(n\in\mathbb{N})\}\)は\(S\)の部分空間になる。
\(\mathbf{0}=\{0\}_{n=1}^\infty\)より、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{b}=\{b_n\}_{n=1}^\infty\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n=0,\ \ b_{n+2}-3b_{n+1}-4b_n=0\ \ (n\in\mathbb{N})\)
すなわち、\(\mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}\)とおくと
\(c_{n+2}-3c_{n+1}-4c_n\)
\(=(\alpha a_{n+2}+\beta b_{n+2})-3(\alpha a_{n+1}+\beta b_{n+1})-4(\alpha a_n+\beta b_n)\)
\(=\alpha(a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n)+\beta(b_{n+2}-3b_{n+1}-4b_n)\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(S\)の部分空間である。
また、\(\mathbf{a}=\{a_n\}_{n=1}^\infty,\mathbf{b}=\{b_n\}_{n=1}^\infty\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n=0,\ \ b_{n+2}-3b_{n+1}-4b_n=0\ \ (n\in\mathbb{N})\)
すなわち、\(\mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}\)とおくと
\(c_{n+2}-3c_{n+1}-4c_n\)
\(=(\alpha a_{n+2}+\beta b_{n+2})-3(\alpha a_{n+1}+\beta b_{n+1})-4(\alpha a_n+\beta b_n)\)
\(=\alpha(a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n)+\beta(b_{n+2}-3b_{n+1}-4b_n)\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\mathbf{c}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(S\)の部分空間である。
(6)\(a_0,a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}\)に対して、微分方程式\(a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0\)を満たす開区間\((a,b)\)上の\(C^n\)級実数値関数\(y=f(x)\)全体のなす集合\(W=\{y\in C^n(a,b)|a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0\}\)は実ベクトル空間\(C^n(a,b)\)の部分空間になる。
\(y=0\)とすると、微分方程式を満たすので、\(\mathbf{0}\in W\)となり、\(W\neq\emptyset\)である。
また、\(y_1,y_2\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(a_ny_1^{(n)}+a_{n-1}y_1^{(n-1)}+\cdots+a_1y_1'+a_0y_1=0\)
\(a_ny_2^{(n)}+a_{n-1}y_2^{(n-1)}+\cdots+a_1y_2'+a_0y_2=0\)
すなわち、微分の線形性より
\(a_n(\alpha y_1+\beta y_2)^{(n)}+a_{n-1}(\alpha y_1+\beta y_2)^{(n-1)}\)
\(\ \ \ \ \ +\cdots+a_1(\alpha y_1+\beta y_2)'+a_0(\alpha y_1+\beta y_2)\)
\(=\alpha(a_ny_1^{(n)}+a_{n-1}y_1^{(n-1)}+\cdots+a_1y_1'+a_0y_1)\)
\(\ \ \ \ \ +\beta(a_ny_2^{(n)}+a_{n-1}y_2^{(n-1)}+\cdots+a_1y_2'+a_0y_2)\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha y_1+\beta y_2\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^n(a,b)\)の部分空間である。
また、\(y_1,y_2\in W\)、\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とおくと、
\(a_ny_1^{(n)}+a_{n-1}y_1^{(n-1)}+\cdots+a_1y_1'+a_0y_1=0\)
\(a_ny_2^{(n)}+a_{n-1}y_2^{(n-1)}+\cdots+a_1y_2'+a_0y_2=0\)
すなわち、微分の線形性より
\(a_n(\alpha y_1+\beta y_2)^{(n)}+a_{n-1}(\alpha y_1+\beta y_2)^{(n-1)}\)
\(\ \ \ \ \ +\cdots+a_1(\alpha y_1+\beta y_2)'+a_0(\alpha y_1+\beta y_2)\)
\(=\alpha(a_ny_1^{(n)}+a_{n-1}y_1^{(n-1)}+\cdots+a_1y_1'+a_0y_1)\)
\(\ \ \ \ \ +\beta(a_ny_2^{(n)}+a_{n-1}y_2^{(n-1)}+\cdots+a_1y_2'+a_0y_2)\)
\(=\alpha\cdot0+\beta\cdot0\)
\(=0\)
ゆえに\(\alpha y_1+\beta y_2\in W\)が成り立つ。
よって、
\(W\)は\(C^n(a,b)\)の部分空間である。
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