【線形代数】5-3-1 一次独立と一次従属｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「一次独立」と「一次従属」の基礎概念について分かりやすく解説します。定義や判定方法、非自明な一次関係式の求め方などの重要ポイントを、具体的な例題と解答付きで効率よく確認できます。
一次独立と一次従属
【一次結合】
\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)に対して
\(c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k\ \ \ (c_j\in\mathbb{K},j=1,\cdots,k)\)
の形に表される\(V\)のベクトルを\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)の一次結合という。
【一次独立】
\(v_1,v_2,\cdots,v_k\in V\)に対して
\(c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k=\mathbf{0}\)
を満たす\(c_1,c_2,\cdots,c_k\in\mathbb{K}\)とする。
(1)\(c_j(1\leqq j\leqq k)\)が
\(c_1=c_2=\cdots=c_k=0\)
に限るとき、\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)は一次独立であるという。
(2)\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)が一次独立でない場合には、一次従属であるという。また、\((c_1,c_2,\cdots,c_k)\neq(0,0,\cdots,0)\)となるものを非自明な一次関係式という。
【一次従属であるための必要十分条件】
\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間\(V\)のベクトル\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)が一次従属であるための必要十分条件は\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)のいずれか1つのベクトルが残りのベクトルの一次結合で表されることである。
【例題】次の\(\mathbb{R}^3\)のベクトル\(v_1,v_2,v_3\)が一次独立かどうか調べなさい。また、一次従属ならば、非自明な一次関係式を挙げなさい。
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}=\mathbf{0}\)
係数行列\(A=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & -2 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
自明な解\((c_1,c_2,c_3)=(0,0,0)\)のみ持つ。
よって、
\(v_1,v_2,v_3\)は一次独立である。
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}=\mathbf{0}\)
係数行列\(A=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -6 & -12\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、非自明な解をもつので、
\(v_1,v_2,v_3\)は一次従属であり、\(t=1\)のとき、\(v_1-2v_2+v_3=\mathbf{0}\)が成り立つ。