【線形代数】5-4-2 斉次連立一次方程式の解空間｜問題集

斉次連立一次方程式の係数行列は
\(A=\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
\(V\)の任意のベクトルは\(v_1=\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)の一次結合で表せるので\(v_1,v_2\)は\(V\)を生成する。また、
\(sv_1+tv_2=\begin{pmatrix}-s-2t \\ -s-t \\ s \\ t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
とおくと、\(s=t=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2\)は一次独立である。
よって、
\(v_1,v_2\)は\(V\)の基底であり、\(\dim V=2\)

\(A\)を行基本変形すると、
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解は
\(\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
\(W\)の任意のベクトルは\(v_1=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}\)の一次結合で表せるので\(v_1,v_2\)は\(W\)を生成する。また、
\(sv_1+tv_2=\begin{pmatrix}-2s+t \\ s \\ -3t \\ t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
とおくと、\(s=t=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2\)は一次独立である。
よって、
\(v_1,v_2\)は\(W\)の基底であり、\(\dim W=2\)