【線形代数】5-4-4 基底の延長定理｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「基底の延長定理」について解説します。一次独立なベクトルの組を全体の基底へと拡張する考え方から、次元と一致する個数のベクトルが基底になるための判定条件、部分空間の次元に関する基本性質まで、具体例と丁寧な解説付きで効率よく確認できます。
基底の延長定理
【基底の延長】
\(n\)次元ベクトル空間\(V\)とし、\(k\)を\(n\)より小さい自然数とする。また、\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)を一次独立な\(V\)のベクトルとする。
このとき、\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)を含む\(V\)の基底\(v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\)が存在する。
【次元と一致する個数のベクトルの組が基底であるための判定条件】
\(n\)次元ベクトル空間\(V\)とし、\(V\)の\(n\)個のベクトル\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)に対して、次は同値である。
(1)\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)は一次独立である。
(2)\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)は\(V\)を生成する。
この2条件のどちらかを満たせば、\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)は\(V\)の基底である。
【部分空間の次元】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の有限次元ベクトル空間、\(W\)を\(V\)の部分空間とする。このとき、
\(\dim W\leqq\dim V\)
であり、等号が成立するのは\(W=V\)の場合に限る。
【例題】\(\mathbb{R}^4\)のベクトルを次のようにおくとき、\(v_1,v_2,v_3,v_4\)は\(\mathbb{R}^4\)の基底であることを証明しなさい。
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -1 & 0 \\ 3 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & -4 \\ 0 & -2 & -9 & 7\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 11 & -13 \\ 0 & 0 & -13 & 13\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 11 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\((c_1,c_2,c_3,c_4)=(0,0,0,0)\)
のみを解にもつので、\(v_1,v_2,v_3,v_4\)は一次独立である。
よって、
\(\mathbb{R}^4\)の基底は\(v_1,v_2,v_3,v_4\)であり、\(\dim\mathbb{R}^4=4\)