【線形代数】5-4-3 有限個のベクトルで生成される部分空間｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「有限個のベクトルで生成される部分空間」の求め方について解説します。ベクトル群の一次結合による空間の定義から、行列の行基本変形を用いて基底と次元を導く一連の流れを、具体的な例題と丁寧な解答付きで効率よく確認できます。
有限個のベクトルで生成される部分空間
【ベクトルから生成される部分空間】
\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間\(V\)のベクトル\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)の一次結合によって表されるベクトル全体からなる集合を
\(\langle v_1,v_2,\cdots,v_k\rangle\)
\(\ \ =\{x_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_kv_k|x_j\in\mathbb{K}(j=1,\cdots,k)\}\)
で表し、\(v_1,v_2,\cdots,v_k\)で生成される\(V\)の部分空間という。
【例題】\(v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^3\)を次のベクトルで定める。このとき、\(\mathbb{R}^3\)の部分空間\(W=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\)の次元と基底を求めなさい。
\(v_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(v_1,v_2,v_3\)の中から最大個数の一次独立の組を選ぶ。
\(x_j\in\mathbb{R}\)とすると、
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(t=1\)とおくと、
\(-v_1-v_2+v_3=\mathbf{0}\)
\(v_3=v_1+v_2\)
\(W\)の任意のベクトル\(w=av_1+bv_2+cv_3\)は
\(w=av_1+bv_2+c(v_1+v_2)=(a+c)v_1+(b+c)v_2\)
の一次結合で表せるので\(W=\langle v_1,v_2\rangle\)が成り立つ。また、
\(x_1v_1+x_2v_2=\mathbf{0}\)
とおくと、\(x_1=x_2=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2\)は一次独立である。
よって、
\(W\)の基底は\(v_1,v_2\)であり、\(\dim W=2\)
\(x_j\in\mathbb{R}\)とすると、
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(t=1\)とおくと、
\(-v_1-v_2+v_3=\mathbf{0}\)
\(v_3=v_1+v_2\)
\(W\)の任意のベクトル\(w=av_1+bv_2+cv_3\)は
\(w=av_1+bv_2+c(v_1+v_2)=(a+c)v_1+(b+c)v_2\)
の一次結合で表せるので\(W=\langle v_1,v_2\rangle\)が成り立つ。また、
\(x_1v_1+x_2v_2=\mathbf{0}\)
とおくと、\(x_1=x_2=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2\)は一次独立である。
よって、
\(W\)の基底は\(v_1,v_2\)であり、\(\dim W=2\)
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