【高校数学A】1-1-1 集合の要素の個数｜問題集
1.\(1\)から\(40\)までの整数のうち、次の個数を答えなさい。
(1)\(3\)で割り切れる整数\(n(A)\)
\(13\)
(2)\(4\)で割り切れる整数\(n(B)\)
\(10\)
(3)\(3\)かつ\(4\)で割り切れる整数\(n(A∩B)\)
\(3\)
(4)\(3\)または\(4\)で割り切れる整数
\(n(A∪B)\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=13+10-3\)
\(=20\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=13+10-3\)
\(=20\)
(5)\(3\)で割り切れない整数
\(n(\overline{A})\)
\(=n(U)-n(A)\)
\(=40-13\)
\(=27\)
\(=n(U)-n(A)\)
\(=40-13\)
\(=27\)
(6)\(3\)で割り切れるが、\(4\)で割り切れない整数
\(n(A∩\overline{B})\)
\(=n(A)-n(A∩B)\)
\(=13-3\)
\(=10\)
\(=n(A)-n(A∩B)\)
\(=13-3\)
\(=10\)
2.\(50\)人の中で、コーヒーが好きな人が\(27\)人、紅茶が好きな人が\(15\)人、コーヒーと紅茶のどちらも好きでない人が\(12\)人いた。コーヒーと紅茶の両方好きな人は何人か答えなさい。
全体の集合を\(U\)、
コーヒーが好きな集合を\(A\)、紅茶が好きな集合を\(B\)とすると、
\(n(U)=50\)
\(n(A)=27\)
\(n(B)=15\)
\(n(\overline{A∪B})=12\)
コーヒーと紅茶が少なくとも一方が好きな集合は、
\(n(A∪B)\)
\(=n(U)-n(\overline{A∪B})\)
\(=50-12\)
\(=38\)
よって、
\(38=27+15-n(A∩B)\)
\(n(A∩B)=4\)
コーヒーが好きな集合を\(A\)、紅茶が好きな集合を\(B\)とすると、
\(n(U)=50\)
\(n(A)=27\)
\(n(B)=15\)
\(n(\overline{A∪B})=12\)
コーヒーと紅茶が少なくとも一方が好きな集合は、
\(n(A∪B)\)
\(=n(U)-n(\overline{A∪B})\)
\(=50-12\)
\(=38\)
よって、
\(38=27+15-n(A∩B)\)
\(n(A∩B)=4\)
3.全体集合を\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)とし、\(U\)の部分集合\(A=\{1,3,7,9\},B=\{3,6,7\}\)とする。このとき、次の個数を求めなさい。
(1)\(n(A)\)
\(4\)
(2)\(n(\overline{B})\)
\(6\)
(3)\(n(A∩B)\)
\(2\)
(4)\(n(A∪B)\)
\(5\)
(5)\(n(\overline{A∪B})\)
\(4\)
4.全体集合\(U\)の部分集合\(A,B\)について、\(n(U)=40\), \(n(A)=18\), \(n(B)=25\), \(n(A∩B)=6\)のとき、次の個数を求めなさい。
(1)\(n(\overline{A})\)
\(=n(U)-n(A)\)
\(=40-18\)
\(=22\)
\(=40-18\)
\(=22\)
(2)\(n(\overline{B})\)
\(=n(U)-n(B)\)
\(=40-25\)
\(=15\)
\(=40-25\)
\(=15\)
(3)\(n(A∪B)\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=18+25-6\)
\(=37\)
\(=18+25-6\)
\(=37\)
(4)\(n(\overline{A∪B})\)
\(=n(U)-n(A∪B)\)
\(=40-37\)
\(=3\)
\(=40-37\)
\(=3\)
(5)\(n(\overline{A}∩\overline{B})\)
\(=n(\overline{A∪B})\)
\(=3\)
\(=3\)
5.全体集合\(U\)の部分集合\(A,B\)について、\(n(U)=100\), \(n(A∪B)=70\), \(n(A∩B)=15\), \(n(A∩\overline{B})=40\)のとき、次の個数を求めなさい。
(1)\(n(A)\)
\(=n(A∩B)+n(A∩\overline{B})\)
\(=15+40\)
\(=55\)
\(=15+40\)
\(=55\)
(2)\(n(B)\)
\(=n(A∪B)-n(A)+n(A∩B)\)
\(=70-55+15\)
\(=30\)
\(=70-55+15\)
\(=30\)
(3)\(n(\overline{A}∩\overline{B})\)
\(=n(\overline{A∪B})\)
\(=n(U)-n(A∪B)\)
\(=100-70\)
\(=30\)
\(=n(U)-n(A∪B)\)
\(=100-70\)
\(=30\)
(4)\(n(\overline{A}∩B)\)
\(=n(B)-n(A∩B)\)
\(=30-15\)
\(=15\)
\(=30-15\)
\(=15\)
(5)\(n(\overline{A}∪\overline{B})\)
\(=n(\overline{A∩B})\)
\(=n(U)-n(A∩B)\)
\(=100-15\)
\(=85\)
\(=n(U)-n(A∩B)\)
\(=100-15\)
\(=85\)
6.\(100\)以下の自然数のうち、次の個数を求めなさい。
(1)\(6\)の倍数
\(16\)
(2)\(6\)の倍数でない数
\(84\)
(3)\(4\)の倍数かつ\(6\)の倍数
\(8\)
(4)\(4\)の倍数または\(6\)の倍数
\(25+16-8=33\)
7.\(100\)以下の自然数のうち、\(2\)の倍数の集合を\(A\)、\(3\)の倍数の集合を\(B\)、\(5\)の倍数の集合を\(C\)とするとき、次の値を求めなさい。
(1)\(n(A∩C)\)
\(10\)
(2)\(n(B∪C)\)
\(=n(B)+n(C)-n(B∩C)\)
\(=33+20-6\)
\(=47\)
\(=33+20-6\)
\(=47\)
(3)\(n(A∩B∩C)\)
\(3\)
(4)\(n(A∪B∪C)\)
\(=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)\)
\(=50+33+20-16-10-6+3\)
\(=74\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)\)
\(=50+33+20-16-10-6+3\)
\(=74\)
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