【高校数学A】2-3-2 n進法｜要点まとめ

整数の変換（n進数⇔10進数）

【記数法の変換】
\(10\)の累乗の位取りによる記数法を\(10\)進法といい、\(10\)進法で表された数を\(10\)進数という。
\(10\)進数の各位の数字は\(0\)以上\(9\)以下の整数である。

\(2\)の累乗の位取りによる記数法を\(2\)進法といい、\(2\)進法で表された数を\(2\)進数という。
\(2\)進数の各位の数字は\(0\)または\(1\)の整数である。
\(10\)進数と区別するため、\(2\)進数\(101\)は添え字を用いて、\(101_{(2)}\)のように表す。

一般に、\(n\)の累乗の位取りによる記数法を\(n\)進法といい、\(n\)進法で表された数を\(n\)進数という。

n進数を10進数に変換（例題つき）

【n進数を10進数に変換】
\(1101_{(2)}\)を\(10\)進数にするには、
\(1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0\)
\(=8+4+0+1\)
\(=13\)

10進数をn進数に変換（例題つき）

【10進数をn進数に変換】
\(46\)を\(3\)進数にするには、
\(46\)を\(3\)で割って、余りは右に書き、商をさらに\(3\)で割る。
これを割れない数(\(3\)より小さい数)になるまで繰り返す。
\begin{array}{r} 3\underline{\big{)}\phantom{0}46}\phantom{000000}\\ 3\underline{\big{)}\phantom{0}15}・・・1\\ 3\underline{\big{)}\phantom{00}5}・・・0\\ \phantom{00}1・・・2\\ \end{array} 最後の割れない数を先頭にして、余りを逆から並べる。
\(1201_{(3)}\)

小数の変換（n進数⇔10進数）

n進数の小数を10進数に変換（例題つき）

【n進数の小数を10進数に変換】
\(0.412_{(5)}\)を\(10\)進数にするには、
\(4\times5^{-1}+1\times5^{-2}+2\times5^{-3}\)
\(\displaystyle =\frac{4}{5}+\frac{1}{25}+\frac{2}{125}\)
\(\displaystyle =\frac{107}{125}\)
\(=0.856\)

10進数の小数をn進数に変換（例題つき）

【10進数の小数をn進数に変換】
\(0.856\)を\(5\)進数にするには、
小数部分のみに\(5\)を乗法していく。
これを小数部分が\(0\)になるまで繰り返す。
\(0.856\times5=4.280\)
整数部分:\(4\)、小数部分:\(0.28\)
\(0.28\times5=1.4\)
整数部分:\(1\)、小数部分:\(0.4\)
\(0.4\times5=2\)
整数部分:\(2\)、小数部分:\(0\)
かけ算した結果の整数部分を順に小数点以下の数として書き並べる。
よって、
\(0.412_{(5)}\)