同じものを含む順列
【同じものを含む順列】
全部で\(n\)個の文字があり、\(a\)が\(p\)個、\(b\)が\(q\)個、\(c\)が\(r\)個あるとき、それらを一列に並べる総数は
\(\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}\)
ただし、\(n=p+q+r\)
【例題】\(a,a,b,b,c,d,e,f\)の\(8\)文字を一列に並べるとき、次の問いに答えなさい。
(1)全部で何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{8!}{2!2!}=10080\)(通り)
(2)母音\(3\)つが連続して並ぶのは何通りあるか求めなさい。
\(a,a,e\)をひとまとめにして、\(6\)文字の並び方は
\(\displaystyle \frac{6!}{2!}=360\)(通り)
\(a,a,e\)内の並び方は
\(\displaystyle \frac{3!}{2!}=3\)(通り)
積の法則より、
\(360\times3=1080\)(通り)
(3)\(a\)と\(b\)が全て偶数番目にして並ぶのは何通りあるか求めなさい。
\(a\)が偶数番目の\(4\)つのうち、\(2\)つを選ぶ。
\({}_4\mathrm{C}_2=6\)(通り)
残りの\(4\)文字を並べ方は
\(4!=24\)(通り)
積の法則より、
\(6\times24=144\)(通り)
(4)同じ文字が連続して並ぶのは何通りあるか求めなさい。
(a)\(aa\)が連続して並ぶ場合
\(\displaystyle \frac{7!}{2!}=2050\)(通り)
(b)\(bb\)が連続して並ぶ場合
\(\displaystyle \frac{7!}{2!}=2050\)(通り)
(c)\(aa\)かつ\(bb\)が連続して並ぶ場合
\(6!=720\)(通り)
よって、
\(2050+2050-720=4320\)(通り)
(5)\(c,d,e\)がこの順に並ぶのは何通りあるか求めなさい。
\(c,d,e\)を同じ文字として見る。
\(\displaystyle \frac{8!}{2!2!3!1!}=1680\)(通り)
最短経路
【例題】\(A\)から\(B\)までの道を直線で示したものである。
(1)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までの道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{11!}{5!6!}\)
\(\displaystyle =\frac{11・10・9・8・7}{5・4・3・2・1}\)
\(=462\)(通り)
(2)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(P\)を通らない道順が何通りあるか求めなさい。
\(P\)を通る道順は
\(\displaystyle \frac{4!}{2!2!}\times\frac{7!}{3!4!}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3・7・6・5}{2・1・3・2・1}\)
\(=210\)(通り)
よって、\(P\)を通らない道順は
\(462-210=252\)(通り)
(3)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(P\)を通って、\(Q,R\)間を通らない道順が何通りあるか求めなさい。
\(QR\)間を通る道順は
\(\displaystyle \frac{4!}{2!2!}\times\frac{5!}{3!2!}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3・5・4}{2・1・2・1}\)
\(=60\)(通り)
よって、\(QR\)間を通らない道順は
\(210-60=150\)(通り)
重複組合せ
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(3\)文字\(a,b,c\)から重複を許容して\(6\)個とる組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_8\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)
(2)\(x+y+z=5\)を満たす\(0\)以上の整数の組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_7\mathrm{C}_5\)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)