【高校数学A】1-1-6 同じものを含む順列｜要点まとめ

\(\displaystyle \frac{8!}{2!2!}=10080\)(通り)

\(a,a,e\)をひとまとめにして、\(6\)文字の並び方は
\(\displaystyle \frac{6!}{2!}=360\)(通り)
\(a,a,e\)内の並び方は
\(\displaystyle \frac{3!}{2!}=3\)(通り)
積の法則より、
\(360\times3=1080\)(通り)

\(a\)が偶数番目の\(4\)つのうち、\(2\)つを選ぶ。
\({}_4\mathrm{C}_2=6\)(通り)
残りの\(4\)文字を並べ方は
\(4!=24\)(通り)
積の法則より、
\(6\times24=144\)(通り)

(a)\(aa\)が連続して並ぶ場合
\(\displaystyle \frac{7!}{2!}=2520\)(通り)
(b)\(bb\)が連続して並ぶ場合
\(\displaystyle \frac{7!}{2!}=2520\)(通り)
(c)\(aa\)かつ\(bb\)が連続して並ぶ場合
\(6!=720\)(通り)
よって、
\(2520+2520-720=4320\)(通り)

\(c,d,e\)を同じ文字として見る。
\(\displaystyle \frac{8!}{2!2!3!1!}=1680\)(通り)

\(\displaystyle \frac{11!}{5!6!}\)
\(\displaystyle =\frac{11・10・9・8・7}{5・4・3・2・1}\)
\(=462\)(通り)

\(P\)を通る道順は
\(\displaystyle \frac{4!}{2!2!}\times\frac{7!}{3!4!}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3・7・6・5}{2・1・3・2・1}\)
\(=210\)(通り)
よって、\(P\)を通らない道順は
\(462-210=252\)(通り)

\(QR\)間を通る道順は
\(\displaystyle \frac{4!}{2!2!}\times\frac{5!}{3!2!}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3・5・4}{2・1・2・1}\)
\(=60\)(通り)
よって、\(QR\)間を通らない道順は
\(210-60=150\)(通り)

\({}_8\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)

\({}_7\mathrm{C}_5\)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)