【高校数学A】3-1-2 三角形の五心｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「三角形の五心」について解説しています。外心・内心・重心・垂心・傍心の位置や性質を整理し、外接円・内接円・傍心円との関係もわかりやすくまとめました。図や例題を通して理解を深められる内容で、定期テストや入試問題の対策にも活用できます。
外心と外接円
【外心】
\(△ABC\)の\(3\)つの辺の垂直二等分線は\(1\)点\(O\)で交わる。この点\(O\)を外心という。
点\(O\)は\(△ABC\)の\(3\)つの頂点から等距離にあり、点\(O\)を中心に\(3\)つの頂点を通る円がある。この円を\(△ABC\)の外接円という。
\(180°=2x+40°+70°\)
\(2x=70°\)
\(x=35°\)
\(y=180°-2\times35°=110°\)
内心と内接円
【内心】
\(△ABC\)の\(3\)つの内角の二等分線は\(1\)点\(I\)で交わる。この点\(I\)を内心という。
点\(I\)を中心とし、\(△ABC\)の\(3\)つの辺に接する円がある。この円を\(△ABC\)の内接円という。
\(\ \ =60°\)
\(y=180°-(20°+40°)\)
\(\ \ =120°\)
重心の性質
【重心】
\(△ABC\)の\(3\)つの中線は\(1\)点\(G\)で交わる。この点\(G\)を重心という。
点\(G\)は中線を\(2:1\)に内分する。
【例題】点\(G\)は\(△ABC\)の重心で、辺\(PQ\)は点\(G\)を通る。\(BC//PQ,BD=3,GD=2\)のとき、次の問いに答えなさい。
\(AG:GD=2:1\)
\(AG:2=2:1\)
\(AG=4\)
\(DC:GQ=3:2\)
\(3:GQ=3:2\)
\(GQ=2\)
相似比は\(3:2\)なので、面積比は\(9:4\)
\(\displaystyle △APG=△ABC\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle △APG=\frac{2}{9}△ABC\)
よって、
\(△APG:△ABC=2:9\)
垂心の性質
【垂心】
\(△ABC\)の各頂点からそれぞれの対辺またはその延長上に引いた\(3\)つの垂線は\(1\)点\(H\)で交わる。この点\(H\)を垂心という。
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =140°\)
対頂角は等しいので、
\(x=∠DHE\)
\(\ \ =140°\)
傍心と傍心円
【傍心】
\(△ABC\)の\(1\)つの内角の二等分線と他の\(2\)つの外角の二等分線は\(1\)点\(I\)で交わる。この点\(I\)を傍心という。
点\(I\)を中心とし、\(△ABC\)に接する円がある。この円を\(△ABC\)の傍接円という。
\(1\)つの三角形に対して、傍心・傍接円が\(3\)個ずつ存在する。