外心
【外心】
\(△ABC\)の\(3\)つの辺の垂直二等分線は\(1\)点\(O\)で交わる。この点\(O\)を外心という。
点\(O\)は\(△ABC\)の\(3\)つの頂点から等距離にあり、点\(O\)を中心に\(3\)つの頂点を通る円がある。この円を\(△ABC\)の外接円という。
【例題】次の図の\(x,y\)の値を求めなさい。ただし、点\(O\)は\(△ABC\)の外心である。
\(180°=2x+2\times20°+2\times35°\)
\(180°=2x+40°+70°\)
\(2x=70°\)
\(x=35°\)
\(y=180°-2\times35°\)
\(\ \ =110°\)
内心
【内心】
\(△ABC\)の\(3\)つの内角の二等分線は\(1\)点\(I\)で交わる。この点\(I\)を内心という。
点\(I\)を中心とし、\(△ABC\)の\(3\)つの辺に接する円がある。この円を\(△ABC\)の内接円という。
【例題】次の図の\(x,y\)の値を求めなさい。ただし、点\(I\)は\(△ABC\)の内心である。
\(x=180°-(2\times20°+2\times40°)\)
\(\ \ =60°\)
\(y=180°-(20°+40°)\)
\(\ \ =120°\)
重心
【重心】
\(△ABC\)の\(3\)つの中線は\(1\)点\(G\)で交わる。この点\(G\)を重心という。
点\(G\)は中線を\(2:1\)に内分する。
【例題】点\(G\)は\(△ABC\)の重心で、辺\(PQ\)は点\(G\)を通る。\(BC//PQ,BD=3,GD=2\)のとき、次の問いに答えなさい。
(1)\(AG,GQ\)の値を求めなさい。
点\(G\)は重心なので、
\(AG:GD=2:1\)
\(AG:2=2:1\)
\(AG=4\)
\(DC:GQ=3:2\)
\(3:GQ=3:2\)
\(GQ=2\)
(2)\(△APG\)と\(△ABC\)の面積比を求めなさい。
\(△APG\)と\(△ABD\)の
相似比は\(3:2\)なので、面積比は\(9:4\)
\(\displaystyle △APG=△ABC\times\frac{1}{2}\times\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle △APG=\frac{2}{9}△ABC\)
よって、
\(△APG:△ABC=2:9\)
垂心
【垂心】
\(△ABC\)の各頂点からそれぞれの対辺またはその延長上に引いた\(3\)つの垂線は\(1\)点\(H\)で交わる。この点\(H\)を垂心という。
【例題】次の図の\(x\)の値を求めなさい。ただし、点\(H\)は\(△ABC\)の垂心である。
\(∠DHG=360°-(90°+90°+40°)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =140°\)
対頂角は等しいので、
\(x=∠DHG\)
\(\ \ =140°\)
傍心
【傍心】
\(△ABC\)の\(1\)つの内角の二等分線と他の\(2\)つの外角の二等分線は\(1\)点\(I\)で交わる。この点\(I\)を傍心という。
点\(I\)を中心とし、\(△ABC\)に接する円がある。この円を\(△ABC\)の傍接円という。
\(1\)つの三角形に対して、傍心・傍接円が\(3\)個ずつ存在する。