【高校数学A】1-2-3 独立な試行と確率｜問題集
1.\(2\)枚のコインと\(1\)個のさいころを投げるとき、次の確率を求めなさい。
(1)硬貨は\(2\)枚とも表が出て、さいころは偶数の目が出る確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{1}{4}\times\frac{3}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle p=\frac{1}{4}\times\frac{3}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{8}\)
(2)硬貨は\(1\)枚だけ表が出て、さいころは\(2\)以下の目が出る確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\times\frac{2}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\times\frac{2}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{6}\)
2.\(A\)の袋には赤玉が\(3\)個、白玉が\(4\)個ある。\(B\)の袋には赤玉が\(4\)個、白玉が\(2\)個ある。\(2\)つの袋から\(1\)つの玉を取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1)共に白玉を取り出す確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{4}{7}\times\frac{2}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{21}\)
\(\displaystyle p=\frac{4}{7}\times\frac{2}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{21}\)
(2)共に同じ色の玉を取り出す確率
共に赤玉を取り出す確率は
\(\displaystyle \frac{3}{7}\times\frac{4}{6}=\frac{2}{7}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{4}{21}+\frac{2}{7}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{21}\)
\(\displaystyle \frac{3}{7}\times\frac{4}{6}=\frac{2}{7}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{4}{21}+\frac{2}{7}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{10}{21}\)
3.\(A\)の袋には赤玉が\(3\)個、白玉が\(2\)個ある。\(B\)の袋には赤玉が\(2\)個、白玉が\(4\)個ある。\(2\)つの袋から\(1\)つの玉を取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1)\(A\)から赤玉、\(B\)から白玉を取り出す確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{3}{5}\times\frac{4}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{5}\)
\(\displaystyle p=\frac{3}{5}\times\frac{4}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{5}\)
(2)\(A,B\)から取り出す玉の色が異なる確率
\(A\)から白玉、\(B\)から赤玉を取り出す確率は
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times\frac{2}{6}=\frac{2}{15}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{2}{5}+\frac{2}{15}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{15}\)
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times\frac{2}{6}=\frac{2}{15}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{2}{5}+\frac{2}{15}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{15}\)
4.\(1\)個のさいころを\(5\)回続けて投げるとき、次の確率を求めなさい。
(1)\(5\)または\(6\)の目がちょうど\(1\)回出る確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
\(\displaystyle \ \ =5\times\frac{1}{3}\times\frac{16}{81}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{80}{243}\)
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
\(\displaystyle \ \ =5\times\frac{1}{3}\times\frac{16}{81}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{80}{243}\)
(2)\(5\)または\(6\)の目が\(2\)回以上出る確率
\(5\)または\(6\)の目がちょうど\(0\)回出る確率は
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_0\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^5\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{32}{243}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=1-\left(\frac{32}{243}+\frac{80}{243}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{131}{243}\)
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_0\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^5\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{32}{243}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=1-\left(\frac{32}{243}+\frac{80}{243}\right)\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{131}{243}\)
5.\(6\)枚のコインを投げるとき、表が\(3\)枚、裏が\(3\)枚になる確率を求めなさい。
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_6\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =20\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{16}\)
\(\displaystyle p={}_6\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =20\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{16}\)
6.\(x\)軸上に点\(P\)がある。さいころを投げて、\(3\)の倍数の目が出たとき、\(P\)は\(x\)軸上に正の方向に\(2\)だけ進み、\(3\)の倍数でない目が出たとき、\(P\)は\(x\)軸上の負の方向に\(1\)だけ進む。さいころを\(5\)回投げたとき、原点から出発した\(P\)が\(x=1\)の点にある確率を求めなさい。
さいころが\(3\)の倍数が出る回数を\(r\)とすると、
\(3\)の倍数でない回数は\(5-r\)となる。
点\(P\)の\(x\)座標は
\(x=2r-(5-r)=3r-5\)
\(x=1\)を代入すると、\(r=2\)
\(3\)の倍数の目がちょうど\(2\)回出る確率を求めればよいので、
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =10\times\frac{1}{9}\times\frac{8}{27}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{80}{243}\)
\(3\)の倍数でない回数は\(5-r\)となる。
点\(P\)の\(x\)座標は
\(x=2r-(5-r)=3r-5\)
\(x=1\)を代入すると、\(r=2\)
\(3\)の倍数の目がちょうど\(2\)回出る確率を求めればよいので、
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_5\mathrm{C}_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =10\times\frac{1}{9}\times\frac{8}{27}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{80}{243}\)
7.\(A,B\)の\(2\)チームがバレーボールの試合をする。先に\(3\)セットを先取した方が優勝とするとき、次の確率を求めなさい。ただし、\(1\)セットのゲームで\(A\)が\(B\)に勝つ確率は\(\displaystyle \frac{2}{3}\)とする。
(1)\(3\)セット目で\(A\)が優勝する確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{27}\)
\(\displaystyle p=\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{27}\)
(2)\(4\)セット目で\(A\)が優勝する確率
\(3\)セット目まで\(A\)が\(2\)勝\(1\)敗になるので、
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_3\mathrm{C}_1\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^1\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =3\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{27}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p={}_3\mathrm{C}_1\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^1\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =3\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{8}{27}\)
(3)\(A\)が優勝する確率
\(5\)セット目で\(A\)が優勝する確率は
\(\displaystyle p={}_4\mathrm{C}_2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{16}{81}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{64}{81}\)
\(\displaystyle p={}_4\mathrm{C}_2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2\times\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{16}{81}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{64}{81}\)
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