【高校数学A】2-2-2 不定方程式｜問題集

\(x=3,y=-4\)

\(x=3,y=4\)

\(4x-7y=1\)のとき、
\(x=2,y=1\)
よって、
\(x=10,y=5\)

\(130,31\)の互除法を行う。
\(130=31\times4+6\ \)移項すると、\(6=130-31\times4\)
\(31=6\times5+1\ \)移項すると、\(1=31-6\times5\)
\(1=31-6\times5\)
\(\ \ =31-(130-31\times4)\times5\)
\(\ \ =130\times(-5)+31\times21\)
よって、求める整数\(x,y\)は
\(x=-5,y=21\)

\(109,35\)の互除法を行う。
\(109=35\times3+4\ \)移項すると、\(4=109-35\times3\)
\(35=4\times8+3\ \)移項すると、\(3=35-4\times8\)
\(4=3\times1+1\ \)移項すると、\(1=4-3\times1\)
\(1=4-3\times1\)
\(\ \ =4-(35-4\times8)\times1\)
\(\ \ =4\times9-35\)
\(\ \ =(109-35\times3)\times9-35\)
\(\ \ =35\times(-28)+109\times9\)
よって、求める整数\(x,y\)は
\(x=-28,y=9\)

\(33,14\)の互除法を行う。
\(33=14\times2+5\ \)移項すると、\(5=33-14\times2\)
\(14=5\times2+4\ \)移項すると、\(4=14-5\times2\)
\(5=4\times1+1\ \)移項すると、\(1=5-4\times1\)
\(1=5-4\times1\)
\(\ \ =5-(14-5\times2)\times1\)
\(\ \ =5\times3-14\)
\(\ \ =(33-14\times2)\times3-14\)
\(\ \ =33\times3+14\times(-7)\)
両辺を\(3\)倍して
\(3=33\times9+14\times(-21)\)
よって、求める整数\(x,y\)は
\(x=9,y=-21\)

\(61,27\)の互除法を行う。
\(61=27\times2+7\ \)移項すると、\(7=61-27\times2\)
\(27=7\times3+6\ \)移項すると、\(6=27-7\times3\)
\(7=6\times1+1\ \)移項すると、\(1=7-6\times1\)
\(1=7-6\times1\)
\(\ \ =7-(27-7\times3)\times1\)
\(\ \ =7\times4-27\)
\(\ \ =(61-27\times2)\times4-27\)
\(\ \ =61\times4-27\times9\)
両辺を\(8\)倍して
\(8=61\times32-27\times72\)
よって、求める整数\(x,y\)は
\(x=32,y=72\)

\(24,19\)の互除法を行う。
\(24=19\times1+5\ \)移項すると、\(5=24-19\times1\)
\(19=5\times3+4\ \)移項すると、\(4=19-5\times3\)
\(5=4\times1+1\ \)移項すると、\(1=5-4\times1\)
\(1=5-4\times1\)
\(\ \ =5-(19-5\times3)\times1\)
\(\ \ =5\times4-19\)
\(\ \ =(24-19\times1)\times4-19\)
\(\ \ =19\times(-5)-24\times(-4)\)
両辺を\(3\)倍して
\(3=19\times(-15)-24\times(-12)\)
よって、求める整数\(x,y\)は
\(x=-15,y=-12\)

\(3,8\)は互いに素であるので、
\(x=8k,y=3k\)(\(k\)は整数)

\(x=3,y=-1\)は整数解の一つである。
\(3\times3+8\times(-1)=1\)
不定方程式から引くと、
\(3(x-3)+8(y+1)=0\)
\(3,8\)は互いに素であるので、
\(x-3=8k,y+1=-3k\)(\(k\)は整数)
よって、
\(x=8k+3,y=-3k-1\)(\(k\)は整数)

\(4x+9y=1\)のとき、
\(x=-2,y=1\)は整数解の一つである。
両辺を\(3\)倍すると、
\(4\times(-6)+9\times3=3\)
不定方程式から引くと、
\(4(x+6)+9(y-3)=0\)
\(4,9\)は互いに素であるので、
\(x+6=9k,y-3=-4k\)(\(k\)は整数)
よって、
\(x=9k-6,y=-4k+3\)(\(k\)は整数)

\(34x+29y=1\)のとき、
\(x=6,y=-7\)は整数解の一つである。
両辺を\(3\)倍すると、
\(34\times18+29\times(-21)=3\)
不定方程式から引くと、
\(34(x-18)+29(y+21)=0\)
\(34,29\)は互いに素であるので、
\(x-18=29k,y+21=-34k\)(\(k\)は整数)
よって、
\(x=29k+18,y=-34k-21\)(\(k\)は整数)

求める自然数を\(n\)とすると、
\(n=8x+2=13y+6\)
\(8x-13y=4\)
\(x=7,y=4\)は整数解の一つである。
\(8\times7-13\times4=4\)
不定方程式から引くと、
\(8(x-7)-13(y-4)=0\)
\(8,13\)は互いに素であるので、
\(x-7=13k,y-4=8k\)(\(k\)は整数)
\(x=13k+7,y=8k+4\)(\(k\)は整数)
よって、
\(n=8x+2\)
\(\ \ =8(13k+7)+2\)
\(\ \ =104k+58\)
\(100\)以下となるのは、\(k=0\)のときで、
\(n=58\)

求める自然数を\(n\)とすると、
\(n=17x+7=12y+10\)
\(17x-12y=3\)
\(17x-12y=1\)のとき、
\(x=5,y=7\)は整数解の一つである。
両辺を\(3\)倍すると、
\(17\times15-12\times21=3\)
不定方程式から引くと、
\(17(x-15)-12(y-21)=0\)
\(17,12\)は互いに素であるので、
\(x-15=12k,y-21=17k\)(\(k\)は整数)
\(x=12k+15,y=17k+21\)(\(k\)は整数)
よって、
\(n=17x+7\)
\(\ \ =17(12k+15)+7\)
\(\ \ =204k+262\)
\(4\)桁で最小となるのは、\(k=4\)のときで、
\(n=1078\)

\(x=4,y=5\)は整数解の一つである。
\(5\times4+2\times5=30\)
不定方程式から引くと、
\(5(x-4)+2(y-5)=0\)
\(5,2\)は互いに素であるので、
\(x-4=2k,y-5=-5k\)(\(k\)は整数)
よって、
\(x=2k+4,y=-5k+5\)(\(k\)は整数)
\(x\geqq1,y\geqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq k\leqq\frac{4}{5}\)
\(-1.5\leqq k\leqq0.8\)
\(k\)が満たす整数は\(k=-1,0\)
よって、
\((x,y)=(2,10),(4,5)\)