【高校数学A】1-2-4 条件付き確率｜問題集
1.白玉\(5\)個、赤玉\(4\)個が入った袋から、元に戻さないで\(1\)個ずつ続けて\(2\)回、玉を取り出す。\(2\)回目の玉が赤であるとき、\(1\)回目の玉が赤である確率を求めなさい。
\(2\)回目の玉が赤である確率\(P(A)\)を求める。
\(1\)回目は白、\(2\)回目は赤の確率は
\(\displaystyle \frac{5}{9}\times\frac{4}{8}=\frac{5}{18}\)
\(1\)回目は赤、\(2\)回目は赤の確率は
\(\displaystyle \frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{1}{6}\)
よって、
\(\displaystyle P(A)=\frac{5}{18}+\frac{1}{6}=\frac{4}{9}\)
求める確率\(P_A(B)\)は
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{6}÷\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{3}{8}\)
\(1\)回目は白、\(2\)回目は赤の確率は
\(\displaystyle \frac{5}{9}\times\frac{4}{8}=\frac{5}{18}\)
\(1\)回目は赤、\(2\)回目は赤の確率は
\(\displaystyle \frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{1}{6}\)
よって、
\(\displaystyle P(A)=\frac{5}{18}+\frac{1}{6}=\frac{4}{9}\)
求める確率\(P_A(B)\)は
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{6}÷\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{3}{8}\)
2.\(A\)の袋には赤玉が\(3\)個、白玉が\(6\)個ある。\(B\)の袋には赤玉が\(1\)個、白玉が\(3\)個ある。どちらか\(1\)つの袋を選び、その中から\(1\)つの玉を取り出す。赤玉が取り出したとき、\(A\)の袋である確率を求めなさい。
赤玉である確率\(P(A)\)を求める。
\(A\)から赤の確率は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{3}{9}=\frac{1}{6}\)
\(B\)から赤の確率は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)
よって、
\(\displaystyle P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}\)
求める確率\(P_A(B)\)は
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{6}÷\frac{7}{24}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{4}{7}\)
\(A\)から赤の確率は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{3}{9}=\frac{1}{6}\)
\(B\)から赤の確率は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)
よって、
\(\displaystyle P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}\)
求める確率\(P_A(B)\)は
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{6}÷\frac{7}{24}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{4}{7}\)
3.同じ製品を製造している\(2\)つの工場\(A,B\)があり、\(A\)工場の製品には\(1%\)、\(B\)工場の製品には\(2%\)の不良品が含まれている。\(A\)工場の製品と\(B\)工場の製品を\(7:3\)の割合で混ぜた大量の製品の中から\(1\)個取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1)不良品である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{7}{10}\times\frac{1}{100}+\frac{3}{10}\times\frac{2}{100}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{1000}+\frac{6}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{1000}\)
\(\displaystyle p=\frac{7}{10}\times\frac{1}{100}+\frac{3}{10}\times\frac{2}{100}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{1000}+\frac{6}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{13}{1000}\)
(2)不良品であったとき、それが\(A\)工場の製品である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{7}{1000}÷\frac{13}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{13}\)
\(\displaystyle p=\frac{7}{1000}÷\frac{13}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{7}{13}\)
4.同じ製品を製造している\(2\)つの機械\(A,B\)があり、機械\(A\)の製品には\(0.3%\)、機械\(B\)の製品には\(0.1%\)の不良品が含まれている。機械\(A\)の製品を\(400\)個、機械\(B\)の製品を\(600\)個抜き出し、よくかき混ぜたあとで\(1\)個の製品を取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1)不良品である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{400}{1000}\times\frac{3}{1000}+\frac{600}{1000}\times\frac{1}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{6}{5000}+\frac{3}{5000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{9}{5000}\)
\(\displaystyle p=\frac{400}{1000}\times\frac{3}{1000}+\frac{600}{1000}\times\frac{1}{1000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{6}{5000}+\frac{3}{5000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{9}{5000}\)
(2)不良品であったとき、それが機械\(A\)の製品である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{6}{5000}÷\frac{9}{5000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle p=\frac{6}{5000}÷\frac{9}{5000}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{2}{3}\)
5.赤玉\(5\)個と白玉\(3\)個の入った袋の中から、\(2\)個取り出し元に戻さないで続けて\(1\)個取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1)始めの\(2\)個が共に赤玉だったとき、次の\(1\)個が白である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{5-3}{8-2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle p=\frac{5-3}{8-2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{2}\)
(2)始めの\(2\)個が赤玉で、かつ次の\(1\)個が白である確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{28}\)
\(\displaystyle p=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}\times\frac{3}{6}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{28}\)
6.当たりくじ\(4\)本を含む\(10\)本のくじを\(A,B\)の\(2\)人が順に\(1\)本ずつ引くとき、次の確率を求めなさい。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。
(1)\(A\)が当たり、\(B\)がはずれである確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{4}{10}\times\frac{6}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{15}\)
\(\displaystyle p=\frac{4}{10}\times\frac{6}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{15}\)
(2)\(A\)がはずれ、\(B\)が当たりである確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{6}{10}\times\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{15}\)
\(\displaystyle p=\frac{6}{10}\times\frac{4}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{4}{15}\)
(3)\(2\)人ともはずれである確率
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle p=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1}{3}\)
7.当たりくじ\(5\)本を含む\(12\)本のくじを\(A,B\)の\(2\)人が順に\(1\)本ずつ引くとき、\(B\)が当たる確率を求めなさい。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。
\(A\)が当たり、\(B\)が当たりの確率は
\(\displaystyle \frac{5}{12}\times\frac{4}{11}=\frac{20}{132}\)
\(A\)がはずれ、\(B\)が当たりの確率は
\(\displaystyle \frac{7}{12}\times\frac{5}{11}=\frac{35}{132}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{20}{132}+\frac{35}{132}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{55}{132}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{12}\)
\(\displaystyle \frac{5}{12}\times\frac{4}{11}=\frac{20}{132}\)
\(A\)がはずれ、\(B\)が当たりの確率は
\(\displaystyle \frac{7}{12}\times\frac{5}{11}=\frac{35}{132}\)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{20}{132}+\frac{35}{132}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{55}{132}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{5}{12}\)
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