【高校数学A】3-1-1 三角形の比｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「三角形の比」について解説しています。内分点・外分点の位置関係や、平行線を利用した比の性質、中点連結定理、角の二等分線の性質を体系的に整理しました。図解と例題を通して理解を深められる内容となっており、定期テストや入試問題の対策にも役立つ要点まとめです。
線分の比と内分・外分点
【線分の内分】
\(m,n\)を正の数とする。
点\(P\)が線分\(AB\)上にあって、
\(AP:PB=m:n\)
が成り立つとき、点\(P\)は線分\(AB\)を\(m:n\)に内分するという。
【線分の外分】
点\(Q\)が線分\(AB\)の延長上にあって、
\(AQ:QB=m:n\)
が成り立つとき、点\(Q\)は線分\(AB\)を\(m:n\)に外分するという。
\(m>n\)のとき、
\(m< n\)のとき、
【例題】線分\(AB\)に対して、次の点を表しなさい。
三角形における平行線と比の関係
【平行線と比】
△\(ABC\)の辺\(AB,AC\)上、またはそれらの延長上にそれぞれ点\(P,Q\)があるとき、
(1)\(PQ//BC\)ならば、\(AP:AB=AQ:AC=PQ:BC\)
(2)\(PQ//BC\)ならば、\(AP:PB=AQ:QC\)
(3)\(AP:AB=AQ:AC\)ならば、\(PQ//BC\)
(4)\(AP:PB=AQ:QC\)ならば、\(PQ//BC\)
【中点連結定理】
△\(ABC\)において、点\(P,Q\)がそれぞれ辺\(AB,AC\)上の中点であるとき、
(1)\(PQ//BC\)
(2)\(\displaystyle PQ=\frac{1}{2}BC\)
【例題】次の図の\(x\)の値を求めなさい。
\(x=10\)
\(x=4.5\)
三角形の角の二等分線と比の性質
内角の二等分線の比
【内角の二等分線】
△\(ABC\)の\(∠A\)の二等分線と辺\(BC\)との交点を\(D\)とすると、\(D\)は\(BC\)を\(AB:AC\)に内分する。
\(BD:DC=AB:AC\)
\(CD=3\)
外角の二等分線の比
【外角の二等分線】
\(AB\neq AC\)である△\(ABC\)の\(∠A\)の外角の二等分線と辺\(BC\)の延長との交点を\(D\)とすると、\(D\)は\(BC\)を\(AB:AC\)に外分する。
\(BD:DC=AB:AC\)
\(8CD=30+3CD\)
\(CD=6\)