【高校数学A】1-2-2 確率の基本性質｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「確率の基本性質」について解説しています。和事象・排反事象・余事象の考え方を整理し、加法定理や補集合の確率を図や例題を使って分かりやすく学べます。基礎から応用まで体系的に理解できる内容で、定期テストや入試対策にも役立ちます。
確率の基本性質とは
【確率の基本性質】
\(A\)と\(B\)が共に起こる事象を\(A\)と\(B\)の積事象といい、\(A∩B\)と表す。
\(A\)または\(B\)が起こる事象を\(A\)と\(B\)の和事象といい、\(A∪B\)と表す。
\(2\)つの事象\(A,B\)が同時に起こらないとき、\(A\)と\(B\)の排反事象といい、\(A∩B=ϕ\)と表す。
(1)どのような事象\(A\)に対しても\(0\leqq P(A)\leqq1\)
(2)全事象\(U\)の確率は\(P(U)=1\)
(3)空事象\(ϕ\)の確率は\(P(ϕ)=0\)
(4)確率の加法定理:\(2\)つの事象\(A,B\)が互いに排反のとき、\(P(A∪B)=P(A)+P(B)\)
【例題】\(1\)等、\(2\)等、\(3\)等の確率がそれぞれ\(\displaystyle \frac{5}{100},\frac{10}{100},\frac{30}{100}\)であるくじから\(1\)本くじを引くとき、次の確率を求めなさい。
\(\displaystyle p=\frac{5}{100}+\frac{10}{100}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{3}{20}\)
\(\displaystyle p=\frac{5}{100}+\frac{10}{100}+\frac{30}{100}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{9}{20}\)
和事象の確率と加法定理
【和事象の確率】
\(P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)\)
右端が偶数の並び方は\(3\times6!\)(通り)
左端が偶数の並び方は\(3\times6!\)(通り)
両端が偶数の並び方は\({}_3\mathrm{C}_2\times5!\)(通り)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=\frac{3\times6!}{7!}+\frac{3\times6!}{7!}-\frac{{}_3\mathrm{C}_2\times5!}{7!}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{3}{7}+\frac{3}{7}-\frac{1}{14}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{11}{14}\)
余事象の確率（補集合の考え方）
【余事象の確率】
事象\(A\)に対して、\(A\)が起こらないという事象を\(A\)の余事象といい、\(\bar{A}\)と表す。
\(P(\bar{A})=1-P(A)\)
全て偶数である組合せは\({}_4\mathrm{C}_3\)(通り)
求める確率\(p\)は
\(\displaystyle p=1-\frac{{}_4\mathrm{C}_3}{{}_9\mathrm{C}_3}\)
\(\displaystyle \ \ =1-\frac{4・3・2}{9・8・7}\)
\(\displaystyle \ \ =1-\frac{1}{21}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{20}{21}\)