【高校数学A】2-1-3 最小公倍数と最大公約数｜要点まとめ

このページでは、高校数学Aの「最小公倍数と最大公約数」について解説しています。最小公倍数や最大公約数の基本的な求め方から、互いに素の意味、最大公約数と最小公倍数の性質まで体系的に整理。例題を通して理解を深められる内容で、定期テストや入試対策にも役立ちます。

最小公倍数と最大公約数の基本と公式

【最小公倍数】
全ての素因数の指数のうち最大のものをかけ合わせる。
\(\ \ 40=2^3\times\ \ \times5\)
\(300=2^2\times3\times5^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^3\times3\times5^2=600\)

【最大公約数】
共通する因数の指数のうち最小のものをかけ合わせる。
\(\ \ 40=2^3\times\ \ \times5\)
\(300=2^2\times3\times5^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^2\times\ \ \times5=20\)

【例題】次の数の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。

(1)\(24,90\)
(2)\(60,72\)
(3)\(24,90,126\)
【例題】\(n\)と\(42\)の最小公倍数が\(84\)であるような\(n\)を全て求めなさい。\(n\)は自然数とする。

互いに素の意味と活用法

【互いに素】
最大公約数が\(1\)である\(2\)つの整数を互いに素であるという。
\(a,b,c\)は整数で、\(a,b\)が互いに素であるとき、次のことが成り立つ。
(1)\(ac\)が\(b\)の倍数であるとき、\(c\)は\(b\)の倍数である。
(2)\(a\)の倍数であり、\(b\)の倍数でもある整数は、\(ab\)の倍数である。

【例題】\(a+5\)は\(2\)の倍数であり、\(a+6\)は\(5\)の倍数であるとき、\(a+11\)は\(10\)の倍数であることを証明しなさい。ただし、\(a\)を自然数とする。

最大公約数と最小公倍数の性質・応用

【最大公約数と最小公倍数の性質】
自然数\(a,b\)の最大公約数を\(g\)、最小公倍数を\(l\)とし、\(a=ga',b=gb'\)とするとき、次のことが成り立つ。
(1)\(a',b'\)は互いに素である。
(2)\(l=ga'b'\)
(3)\(ab=gl\)

【例題】最大公約数が\(12\)、最小公倍数が\(72\)である\(2\)つの自然数\(a,b\)の組を全て求めなさい。ただし、\(a< b\)とする。
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