【高校数学A】1-1-1 集合の要素の個数｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「集合の要素の個数」について解説しています。集合の基本的な要素数の求め方から、補集合を用いた公式や計算方法までを整理し、例題を通して理解を深められる内容です。定期テスト対策や入試の基礎固めにも役立ちます。
集合の要素の個数の基本
【和集合の要素と個数】
\(n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
【補集合の要素と個数】
\(n(\overline{A})=n(U)-n(A)\)
【例題】\(1\)～\(100\)までの自然数のうち\(2\)の倍数の集合を\(A\)、\(3\)の倍数の集合を\(B\)とする。次の問いに答えなさい。
(1)\(n(A)\)
\(50\)
(2)\(n(B)\)
\(33\)
(3)\(n(A∩B)\)
\(16\)
(4)\(n(A∪B)\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=50+33-16\)
\(=67\)
\(=50+33-16\)
\(=67\)
【例題】あるクラスの生徒\(40\)人に数学と英語の好き嫌いアンケートを行った。数学が好きな生徒は\(21\)人、英語が好きな生徒は\(17\)人、どちらも好きな生徒は\(8\)人いた。次の生徒の人数を答えなさい。
(1)数学が嫌いな生徒
クラス全体の集合を\(U\)、
数学が好きな生徒の集合を\(A\)とすると、
\(n(U)-n(A)\)
\(=40-21\)
\(=19\)
数学が好きな生徒の集合を\(A\)とすると、
\(n(U)-n(A)\)
\(=40-21\)
\(=19\)
(2)数学が嫌いで英語が好きな生徒
英語が好きな生徒の集合を\(B\)とすると、
\(n(\overline{A}∩B)\)
\(=n(B)-n(A∩B)\)
\(=17-8\)
\(=9\)
\(n(\overline{A}∩B)\)
\(=n(B)-n(A∩B)\)
\(=17-8\)
\(=9\)
(3)数学と英語の少なくとも一方が好きな生徒
\(n(A∪B)\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=21+17-8\)
\(=30\)
\(=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)
\(=21+17-8\)
\(=30\)
(4)数学と英語のどちらも嫌いな生徒
\(n(\overline{A}∩\overline{B})\)
\(=n(\overline{A∪B})\)
\(=n(U)-n(A∪B)\)
\(=40-30\)
\(=10\)
\(=n(\overline{A∪B})\)
\(=n(U)-n(A∪B)\)
\(=40-30\)
\(=10\)
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