【高校数学A】1-1-6 同じものを含む順列｜問題集
1.次の問いに答えなさい。
(1)\(a,a,a,b,c,c\)の\(6\)文字を一列に並べるとき、何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{6!}{3!2!}=60\)(通り)
(2)\(a,a,b,b,b,c\)の\(6\)文字を一列に並べるとき、\(a\)同士が隣り合わない並べ方は何通りあるか求めなさい。
全ての並び方は
\(\displaystyle \frac{6!}{2!3!}=60\)(通り)
\(a\)が隣り合う並び方は
\(\displaystyle \frac{5!}{3!}=20\)(通り)
よって、\(a\)が隣り合わない並び方は
\(60-20=40\)(通り)
\(\displaystyle \frac{6!}{2!3!}=60\)(通り)
\(a\)が隣り合う並び方は
\(\displaystyle \frac{5!}{3!}=20\)(通り)
よって、\(a\)が隣り合わない並び方は
\(60-20=40\)(通り)
(3)\(a,b,c,d,e,f,g,d\)の\(8\)文字を一列に並べるとき、\(b,c,e,f\)がこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(b,c,e,f\)を同じ文字として見る。
\(\displaystyle \frac{8!}{4!2!}=840\)(通り)
\(\displaystyle \frac{8!}{4!2!}=840\)(通り)
2.図のような道を直線で示したものである。
(1)最短経路のうち\(C\)から\(B\)までの道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{4!}{2!2!}\)
\(\displaystyle =\frac{4・3}{2・1}\)
\(=6\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{4・3}{2・1}\)
\(=6\)(通り)
(2)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(C\)を通る道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{3!}{2!1!}\times\frac{4!}{2!2!}\)
\(\displaystyle =\frac{3・4・3}{2・1}\)
\(=18\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{3・4・3}{2・1}\)
\(=18\)(通り)
(3)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(C\)を通らない道順が何通りあるか求めなさい。
全ての道順は
\(\displaystyle \frac{7!}{3!4!}=35\)(通り)
よって、\(C\)を通らない道順は
\(35-18=17\)(通り)
\(\displaystyle \frac{7!}{3!4!}=35\)(通り)
よって、\(C\)を通らない道順は
\(35-18=17\)(通り)
3.図のような道を直線で示したものである。
(1)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までの道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{9!}{4!5!}\)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7・6}{4・3・2・1}\)
\(=126\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7・6}{4・3・2・1}\)
\(=126\)(通り)
(2)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(C\)を通る道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{5!}{2!3!}\times\frac{4!}{2!2!}\)
\(\displaystyle =\frac{5・4・4・3}{2・1・2・1}\)
\(=60\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{5・4・4・3}{2・1・2・1}\)
\(=60\)(通り)
4.図のような道を直線で示したものである。
(1)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までの道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{8!}{4!4!}\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6・5}{4・3・2・1}\)
\(=70\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6・5}{4・3・2・1}\)
\(=70\)(通り)
(2)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(C\)を通る道順が何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{3!}{2!1!}\times\frac{5!}{2!3!}\)
\(\displaystyle =\frac{3・5・4}{1・2・1}\)
\(=30\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{3・5・4}{1・2・1}\)
\(=30\)(通り)
(3)最短経路のうち\(A\)から\(B\)までで\(C\)と\(D\)の両方を通らない道順が何通りあるか求めなさい。
全ての道順は\(70\)(通り)
\(C\)を通る道順は\(30\)(通り)
\(D\)を通る道順は
\(\displaystyle \frac{5!}{3!2!}\times\frac{3!}{1!2!}\)
\(=30\)(通り)
\(C,D\)を両方通る道順は
\(\displaystyle \frac{3!}{2!1!}\times2\times\frac{3!}{1!2!}\)
\(=18\)(通り)
よって、\(C,D\)の両方を通らない道順は
\(70-(30+30-18)=28\)(通り)
\(C\)を通る道順は\(30\)(通り)
\(D\)を通る道順は
\(\displaystyle \frac{5!}{3!2!}\times\frac{3!}{1!2!}\)
\(=30\)(通り)
\(C,D\)を両方通る道順は
\(\displaystyle \frac{3!}{2!1!}\times2\times\frac{3!}{1!2!}\)
\(=18\)(通り)
よって、\(C,D\)の両方を通らない道順は
\(70-(30+30-18)=28\)(通り)
5.次の問いに答えなさい。
(1)\(3\)文字\(a,b,c\)から重複を許容して\(5\)個とる組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_7\mathrm{C}_5\)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)
(2)\(4\)文字\(a,b,c,d\)から重複を許容して\(7\)個とる組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_{10}\mathrm{C}_7\)
\(={}_{10}\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{10・9・8}{3・2・1}\)
\(=120\)(通り)
\(={}_{10}\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{10・9・8}{3・2・1}\)
\(=120\)(通り)
(3)\(4\)文字\(a,b,c,d\)から重複を許容して\(6\)個とる組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_9\mathrm{C}_6\)
\(={}_9\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7}{3・2・1}\)
\(=84\)(通り)
\(={}_9\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7}{3・2・1}\)
\(=84\)(通り)
(4)\(x+y+z=7\)を満たす\(0\)以上の整数の組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_9\mathrm{C}_7\)
\(={}_9\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{9・8}{2・1}\)
\(=36\)(通り)
\(={}_9\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{9・8}{2・1}\)
\(=36\)(通り)
(5)\(x+y+z=8\)を満たす\(0\)以上の整数の組合せは何通りあるか求めなさい。
\({}_{10}\mathrm{C}_8\)
\(={}_{10}\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{10・9}{2・1}\)
\(=45\)(通り)
\(={}_{10}\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{10・9}{2・1}\)
\(=45\)(通り)
(6)\(x+y+z=8\)を満たす自然数の組合せは何通りあるか求めなさい。
\(x,y,z\)は自然であるから、\(0\)とならないので、
\({}_7\mathrm{C}_5\)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)
\(={}_7\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7・6}{2・1}\)
\(=21\)(通り)
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