3-2-3 2つの円(要点)

【円の位置関係と共通接線】

\(2\)つの円で、大きい円の半径を\(R\)、小さい円の半径を\(r\)、中心間の距離を\(d\)とするとき、\(2\)つの円の位置関係は\(5\)つに分類できる。

(1)\(d>R+r\) 外部にある。
共通接線は\(4\)本

(2)\(d=R+r\) 外接する。
共通接線は\(3\)本

(3)\(R-r< d< R+r\) \(2\)点で交わる。
共通接線は\(2\)本

(4)\(d=R-r\) 内接する。
共通接線は\(1\)本

(5)\(d< R-r\) 内部にある。
共通接線は\(0\)本

【例題】半径が\(8\)と\(10\)の\(2\)つの円の中心間の距離が次のような場合、円の位置関係はどうなるか答えなさい。また、共通接線は何本あるか答えなさい。

(1)\(16\)

\(R-r< d< R+r\)より、
\(2\)点で交わる。
共通接線は\(2\)本

(2)\(18\)

\(d=R+r\)より、
外接する。
共通接線は\(3\)本

(3)\(20\)

\(d>R+r\)より、
外部にある。
共通接線は\(4\)本

【例題】線分\(AB\)の長さを求めなさい。ただし、直線\(AB\)は円\(O,O'\)の共通接線で\(A,B\)は接点である。

(1)円\(O\)の半径が\(5\)、円\(O'\)の半径が\(3\)、\(OO'\)が\(12\)

三平方の定理より、
\(12^2=AB^2+(5-3)^2\)
\(AB^2=140\)
\(AB>0\)より、
\(AB=2\sqrt{35}\)

(2)円\(O\)の半径が\(5\)、円\(O'\)の半径が\(3\)、\(OO'\)が\(12\)

三平方の定理より、
\(12^2=AB^2+(5+3)^2\)
\(AB^2=80\)
\(AB>0\)より、
\(AB=4\sqrt{5}\)