【高校数学A】2-1-4 除法の性質｜問題集

\(k,l\)を整数とおくと、\(a=5k+3,b=5l+4\)
\(2a+3b=2(5k+3)+3(5l+4)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =10k+15l+18\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =5(2k+3l+3)+3\)
よって、余りは\(3\)

\(k,l\)を整数とおくと、\(a=5k+3,b=5l+4\)
\(ab=(5k+3)(5l+4)\)
\(\ \ \ \ =25kl+20k+15l+12\)
\(\ \ \ \ =5(5kl+4k+3l+2)+2\)
よって、余りは\(2\)

\(k,l\)を整数とおくと、\(a=8k+2,b=8l+5\)
\(3a+2b=3(8k+2)+2(8l+5)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =24k+16l+16\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8(3k+2l+2)\)
よって、余りは\(0\)

\(k,l\)を整数とおくと、\(a=8k+2,b=8l+5\)
\(ab=(8k+2)(8l+5)\)
\(\ \ \ \ =64kl+40k+16l+10\)
\(\ \ \ \ =8(8kl+5k+2l+1)+2\)
よって、余りは\(2\)

連続する\(2\)つの偶数を\(2k,2k+2\)をおく。
\((2k)^2+(2k+2)^2-4\)
\(=4k^2+4k^2+8k+4-4\)
\(=8k^2+8k\)
\(=8k(k+1)\)
\(k,k+1\)は連続する整数なので、いずれかは\(2\)の倍数となり、
\(k(k+1)\)は\(2\)の倍数となる。
よって、
\(8k(k+1)\)は\(16\)の倍数である。

\(k\)を整数とすると、全ての整数\(n\)は\(3k,3k+1,3k+2\)で表される。
(1)\(n=3k\)のとき
\(n^2=(3k)^2\)
\(\ \ \ \ =9k^2\)
\(\ \ \ \ =3・3k\)
(2)\(n=3k+1\)のとき
\(n^2=(3k+1)^2\)
\(\ \ \ \ =9k^2+6k+1\)
\(\ \ \ \ =3(3k^2+2k)+1\)
(3)\(n=3k+2\)のとき
\(n^2=(3k+2)^2\)
\(\ \ \ \ =9k^2+12k+4\)
\(\ \ \ \ =3(3k^2+4k+1)+1\)
よって、\(n^2\)を\(3\)で割ったときの余りは\(2\)ではない。