正多面体
【正多面体】
へこみのない多面体において、次の条件をみたす立体を正多面体という。
(1)全ての面が合同な正多角形
(2)全ての頂点に集まる面の数が等しい
正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類ある。
| 多面体 | 面の形 | 面の数 |
| 正四面体 | 正三角形 | 4 |
| 正六面体 | 正方形 | 6 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 |
【例題】次の多面体の頂点の数と辺の数を答えなさい。
(1)正四面体
頂点の数=面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数
頂点の数=\(4×3÷3=4\)
辺の数=面の数×1つの面の辺の数÷1つの辺に集まる面の数
辺の数=\(4×3÷2=6\)
(2)正六面体
頂点の数=面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数
頂点の数=\(6×4÷3=8\)
辺の数=面の数×1つの面の辺の数÷1つの辺に集まる面の数
辺の数=\(6×4÷2=12\)
(3)正八面体
頂点の数=面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数
頂点の数=\(8×3÷4=6\)
辺の数=面の数×1つの面の辺の数÷1つの辺に集まる面の数
辺の数=\(8×3÷2=12\)
(4)正十二面体
頂点の数=面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数
頂点の数=\(12×5÷3=20\)
辺の数=面の数×1つの面の辺の数÷1つの辺に集まる面の数
辺の数=\(12×5÷2=30\)
(5)正二十面体
頂点の数=面の数×1つの面の頂点の数÷1つの頂点に集まる面の数
頂点の数=\(20×3÷5=12\)
辺の数=面の数×1つの面の辺の数÷1つの辺に集まる面の数
辺の数=\(20×3÷2=30\)
オイラーの多面体定理
【オイラーの多面体定理】
へこみのない多面体において、頂点の数を\(v\)、辺の数を\(e\)、面の数を\(f\)とすると、
\(v-e+f=2\)
【例題】次の多面体について、オイラーの多面体定理が成り立つか答えなさい。
(1)正八面体
面の数=8
頂点の数=6
辺の数=12
6-12+8=2
よって、オイラーの多面体定理が成り立つ。
(2)正十二面体
面の数=12
頂点の数=20
辺の数=30
20-30+12=2
よって、オイラーの多面体定理が成り立つ。
(3)正二十面体
面の数=20
頂点の数=12
辺の数=30
12-30+20=2
よって、オイラーの多面体定理が成り立つ。