【高校数学A】1-1-5 組合せ｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「組合せ」について解説しています。組合せの記号や計算方法、代表の選び方、図形問題への応用、グループ分けの考え方を整理し、例題を通して基礎から応用まで学べる内容です。定期テストや入試対策にも役立つ要点まとめです。
組合せ｜基本の記号と計算方法
【組合せ】
異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を取る組合せの総数は
\(\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\frac{n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)・・・1}\)
また、\({}_n\mathrm{C}_0=1,{}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)と定める。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\({}_6\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{6・5}{2・1}\)
\(=15\)(通り)
\(=15\)(通り)
(2)\({}_8\mathrm{C}_4\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6・5}{4・3・2・1}\)
\(=70\)(通り)
\(=70\)(通り)
(3)\({}_4\mathrm{C}_4\)
\(=1\)(通り)
(4)\({}_5\mathrm{C}_0\)
\(=1\)(通り)
代表の選び方｜代表者を選ぶ順列・組合せ
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(8\)人の中から\(3\)人を選ぶとき、何通りあるか求めなさい。
\({}_8\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)
(2)\(9\)個の玉から\(6\)個の玉を選ぶとき、何通りあるか求めなさい。
\({}_9\mathrm{C}_6\)
\(={}_9\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7}{3・2・1}\)
\(=84\)(通り)
\(={}_9\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{9・8・7}{3・2・1}\)
\(=84\)(通り)
(3)\(12\)色の鉛筆から\(8\)色を選ぶとき、何通りあるか求めなさい。
\({}_{12}\mathrm{C}_8\)
\(={}_{12}\mathrm{C}_4\)
\(\displaystyle =\frac{12・11・10・9}{4・3・2・1}\)
\(=495\)(通り)
\(={}_{12}\mathrm{C}_4\)
\(\displaystyle =\frac{12・11・10・9}{4・3・2・1}\)
\(=495\)(通り)
図形と組合せ｜図形問題における組合せの応用
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)正八角形について、頂点を結んでできる三角形は何通りあるか求めなさい。
\({}_8\mathrm{C}_3\)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{8・7・6}{3・2・1}\)
\(=56\)(通り)
(2)正八角形について、頂点を結んでできる対角線は何通りあるか求めなさい。
\({}_8\mathrm{C}_2\)
\(\displaystyle =\frac{8・7}{2・1}\)
\(=28\)
正八角形の辺、\(8\)本を含んでいるので、
\(28-8=20\)(通り)
\(\displaystyle =\frac{8・7}{2・1}\)
\(=28\)
正八角形の辺、\(8\)本を含んでいるので、
\(28-8=20\)(通り)
グループ分け｜複数グループに分ける組合せ
【例題】\(9\)人を次のように分けるとき、何通りあるか求めなさい。
(1)\(4\)人、\(3\)人、\(2\)人の組に分ける。
\({}_9\mathrm{C}_4\times{}_5\mathrm{C}_3\times{}_2\mathrm{C}_2\)
\(=126\times10\times1\)
\(=1260\)(通り)
\(=126\times10\times1\)
\(=1260\)(通り)
(2)\(5\)人、\(2\)人、\(2\)人の組に分ける。
\(2\)人の組が\(2\)組で区別がないので、
\(\displaystyle {}_9\mathrm{C}_5\times\frac{{}_4\mathrm{C}_2\times{}_2\mathrm{C}_2}{2!}\)
\(=126\times3\)
\(=378\)(通り)
\(\displaystyle {}_9\mathrm{C}_5\times\frac{{}_4\mathrm{C}_2\times{}_2\mathrm{C}_2}{2!}\)
\(=126\times3\)
\(=378\)(通り)
(3)\(3\)人ずつ\(A,B,C\)の\(3\)つの組に分ける。
\(\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_3\)
\(=84\times20\times1\)
\(=1680\)(通り)
\(=84\times20\times1\)
\(=1680\)(通り)
(4)\(3\)人ずつ\(3\)つの組に分ける。
\(3\)人の組が\(3\)組で区別がないので、
\(\displaystyle \frac{{}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_3}{3!}\)
\(\displaystyle =\frac{84\times20\times1}{6}\)
\(=280\)(通り)
\(\displaystyle \frac{{}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_3}{3!}\)
\(\displaystyle =\frac{84\times20\times1}{6}\)
\(=280\)(通り)
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