【線形代数】5-5-1 部分空間の和と共通部分｜問題集

与えられたベクトルを
\(v_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\)\(v_2=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix},\)\(v_3=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\)\(v_4=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix},\)\(v_5=\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}\)
とおくと、\(W_1+W_2=\langle v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\rangle\)となる。
\(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\)の中から最大個数の一次独立の組を選ぶ。
\(x_j\in\mathbb{R}\)とすると、
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4 & v_5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4 & v_5\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 0 & 2 & 4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
\(s=1,t=0\)とおくと、
\(-4v_1+v_2+v_3=\mathbf{0}\)
\(v_3=4v_1-v_2\)
\(s=0,t=1\)とおくと、
\(2v_1-2v_2-v_4+v_5=\mathbf{0}\)
\(v_5=-2v_1+v_2+v_4\)
すなわち、\(W_1+W_2=\langle v_1,v_2,v_4\rangle\)が成り立つ。また、
\(x_1v_1+x_2v_2+x_4v_4=\mathbf{0}\)
とおくと、\(x_1=x_2=x_4=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2,v_4\)は一次独立である。
よって、
\(W_1+W_2\)の基底は\(v_1,v_2,v_4\)であり、\(\dim(W_1+W_2)=3\)

\(W_1\)を生成するベクトルを求める。
\(\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
係数行列を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
すなわち、ベクトルを
\(v_1=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\)\(v_2=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\)\(v_3=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix},\)\(v_4=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)
とおくと、\(W_1=\langle v_1,v_2\rangle\)なので、
\(W_1+W_2=\langle v_1,v_2,v_3,v_4\rangle\)となる。

\(v_1,v_2,v_3,v_4\)の中から最大個数の一次独立の組を選ぶ。
\(x_j\in\mathbb{R}\)とすると、
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{pmatrix}\)を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}-1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(t=1\)とおくと、
\(-2v_1+v_2+v_3+v_4=\mathbf{0}\)
\(v_4=2v_1-v_2-v_3\)
すなわち、\(W_1+W_2=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\)が成り立つ。また、
\(c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=\mathbf{0}\)
とおくと、\(c_1=c_2=c_3=0\)のみを解にもつので、\(v_1,v_2,v_3\)は一次独立である。
よって、
\(W_1+W_2\)の基底は\(v_1,v_2,v_3\)であり、\(\dim(W_1+W_2)=3\)

\(W_1\cap W_2=\left\{\left .\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}\right|\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3+x_4=0 \\ 2x_1+x_2+5x_3-x_4=0 \\ 2x_1-2x_2+3x_3+x_4=0 \\ x_1+2x_2-2x_3+4x_4=0\end{array}\right\}\)
すなわち、
\(\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)
係数行列を行基本変形すると、
\(\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 & 4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -6 & 6\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
となるので、解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、
\(W_1\cap W_2\)の基底は\(\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)であり、\(\dim(W_1\cap W_2)=1\)