【線形代数】6-1-1 写像｜問題集

単射性:\(f(x_1)=f(x_2)\longrightarrow 3x_1+5=3x_2+5\longrightarrow x_1=x_2\)なので、単射である。
全射性:任意の\(y\in\mathbb{R}\)に対して\(\displaystyle x=\frac{y-5}{3}\in\mathbb{R}\)とおくと、\(f(x)=y\)なので、全射である。
よって、全単射。

単射性:\(f(1)=f(-1)=1\)だが、\(1\neq-1\)なので、単射ではない。
全射性:\(f(x)=x^2\geqq0\)より、\(y=-1\in\mathbb{R}\)に対して、\(f(x)=-1\)となる実数\(x\)は存在しないので、全射ではない。
よって、単射でも全射でもない。

単射性:\(f(x)=x(x-1)(x+1)\)より、\(f(0)=f(1)=0\)だが、\(0\neq1\)なので、単射ではない。
全射性:\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)であり、\(f\)は連続関数なので中間値の定理より実数全体をとり得るので、全射である。
よって、全射。