【高校数学Ⅰ】1-2-2 平方根｜要点まとめ

このページでは、高校数学Ⅰの「平方根」について要点をまとめています。平方根の定義や計算方法、分母の有理化の手順を例題つきで解説。基礎をしっかり身につけたい人や、定期テスト対策をしたい人に最適です。

平方根の定義と計算方法

【平方根】
\(2\)乗して\(a\)になる数を\(a\)の平方根という。
正の数\(a\)の平方根は正と負の\(2\)つあり、正を\(\sqrt{a}\)、負を\(-\sqrt{a}\)で表し、まとめて\(\pm\sqrt{a}\)と書く。

【平方根の性質】
\(a\geqq0\)のとき、
(1)\((\sqrt{a})^2=a\)
(2)\((-\sqrt{a})^2=a\)
(3)\(\sqrt{a}\geqq0\)
(4)\(\sqrt{a^2}=|a|\)

\(a>0,b>0,k>0\)のとき、
(5)\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
(6)\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
(7)\(\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(6\)の平方根を答えなさい。
(2)\(\sqrt{16}\)を簡単にしなさい。
(3)\(\displaystyle -\sqrt{\frac{9}{25}}\)を簡単にしなさい。
(4)\(\sqrt{6}\sqrt{5}\)を簡単にしなさい。
(5)\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\)を簡単にしなさい。
(6)\(\sqrt{18}\)を簡単にしなさい。

【例題】次の計算をしなさい。

(1)\(5\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
(2)\(\sqrt{3}+\sqrt{27}+\sqrt{12}\)
(3)\((5\sqrt{2}-3\sqrt{3})-(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\)
(4)\((4\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})\)
(5)\((2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\)
(6)\((3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})\)

分母の有理化のやり方

【有理化】
分母に根号を含まない形に変形することを分母を有理化するという。
(1)分母が単項式の根号のとき、分母と同じ根号をかける。
(2)分母が多項式の根号のとき、分母の符号と逆の多項式をかける。

【例題】次の式を有理化しなさい。

(1)\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)
(2)\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
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