【高校数学Ⅰ】1-2-3 平方根の応用｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「平方根の応用」について要点をわかりやすくまとめています。対称式の扱い方、平方根の整数部分と小数部分の求め方、二重根号の簡単な外し方までを例題つきで解説。定期テスト対策や入試基礎の確認に最適です。
平方根の応用：対称式の扱い方と解法
【対称式】
\(x\)と\(y\)を入れかえても、元の式と同じ式になるものを、\(x\)と\(y\)の対称式という。
\(x\)と\(y\)の対称式のうち、\(x+y\)と\(xy\)を基本対称式という。
対称式は基本対称式で表すことができる。
(1)\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
(2)\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
【例題】\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1},y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}\)のとき、次の式の値を求めなさい。
(1)\(x+y\)
\(x,y\)をそれぞれ有理化する。
\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2-1}\)
\(\displaystyle \ \ =\sqrt{6}-\sqrt{3}\)
\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2-1}\)
\(\displaystyle \ \ =\sqrt{6}+\sqrt{3}\)
よって、
\(x+y\)
\(=(\sqrt{6}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}+\sqrt{3})\)
\(=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{3}\)
\(=2\sqrt{6}\)
(2)\(xy\)
\(=(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})\)
\(=6+\sqrt{18}-\sqrt{18}-3\)
\(=3\)
(3)\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\displaystyle \frac{x+y}{xy}\)
\(=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}\)
(4)\(x^2+y^2\)
\(=(x+y)^2-2xy\)
\(=(2\sqrt{6})^2-2×3\)
\(=24-6\)
\(=18\)
(5)\(x^3+y^3\)
\(=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
\(=(2\sqrt{6})^3-3×3×2\sqrt{6}\)
\(=48\sqrt{6}-18\sqrt{6}\)
\(=30\sqrt{6}\)
平方根の整数部分・小数部分の求め方
【平方根の整数部分と小数部分】
\(x>0\)のとき、\(n\leqq x< n+1\)を満たす\(0\)以上の整数\(n\)を\(x\)の整数部分、\(x-n\)の値を\(x\)の小数部分という。
\(\sqrt{x}\)の整数部分を調べるには、\(n^2\leqq x<(n+1)^2\)となる整数\(n\)を見つけるとよい。
【例題】次の数の整数部分と小数部分を答えなさい。
(1)\(\sqrt{2}+4\)
\(1<\sqrt{2}<2\)より、
\(5<\sqrt{2}+4<6\)
よって、
整数部分は\(5\)
小数部分は\(\sqrt{2}+4-5=\sqrt{2}-1\)
(2)\(\sqrt{5}-1\)
\(2<\sqrt{5}<3\)より、
\(1<\sqrt{5}-1<2\)
よって、
整数部分は\(1\)
小数部分は\(\sqrt{5}-1-1=\sqrt{5}-2\)
二重根号の外し方と計算のコツ
【二重根号】
次の形のとき、二重根号を外して式を簡単にすることができる。
(1)\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
(2)\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
但し、\(a>b\)とする。
【例題】次の式を簡単にしなさい。
(1)\(\sqrt{6-\sqrt{20}}\)
\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{1}\)
\(=\sqrt{5}-1\)
(2)\(\sqrt{14+4\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{14+2\sqrt{40}}\)
\(=\sqrt{10}+\sqrt{4}\)
\(=\sqrt{10}+2\)
(3)\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)
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