1.次の二次関数のグラフと\(x\)軸の共有点の個数は定数\(k\)の値によってどのように変わるか答えなさい。
(1)\(y=2x^2+kx+1\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =k^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =k^2-8\)
よって、
\(k<-2\sqrt{2},2\sqrt{2}< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=\pm2\sqrt{2}\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-2\sqrt{2}< k< 2\sqrt{2}\)のとき、共有点は\(0\)個
(2)\(y=x^2+kx+3k-5\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =k^2-4×1×(3k-5)\)
\(\ \ \ =k^2-12k+20\)
よって、
\(k<2,10< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=2,10\)のとき、共有点は\(1\)個
\(2< k< 10\)のとき、共有点は\(0\)個
(3)\(y=x^2+(k-2)x-k+10\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(k-2)^2-4×1×(-k+10)\)
\(\ \ \ =k^2-36\)
よって、
\(k<-6,6< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=\pm6\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-6< k< 6\)のとき、共有点は\(0\)個
2.周の長さが\(40m\)の長方形で、面積が\(75m^2\)以上の面積を作るには、縦の長さをどのような範囲にすればよいか答えなさい。
縦を\(x\ m\)とすると、横の長さは\((20-x)\ m\)
\(x(20-x)\geqq 75\)
これを解くと、
\(5\leqq x\leqq 15\)
よって、
縦の長さを\(5m\)以上\(15m\)以下にすればよい。
3.放物線\(y=2x^2+4ax-3a-1\)の頂点が、第4象限にあるとき、定数\(a\)の範囲を求めなさい。
\(y=2x^2+4ax-3a-1\)を平方完成すると、
\(y=2(x+a)^2-2a^2-3a-1\)
頂点は\((-a,-2a^2-3a-1)\)となる。
この頂点で第4象限にあるためには、
\begin{cases}-a> 0 & (1)\\ -2a^2-3a-1< 0 & (2)\end{cases}
(1)を解くと、
\(a< 0\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle a< -1,-\frac{1}{2}< a\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle a< -1,-\frac{1}{2}< a< 0\)
4.二次方程式\(x^2-2kx+k+2=0\)が次のような異なる2つの解をもつとき、定数\(k\)の範囲を求めなさい。
(1)2つの解が共に正
・D>0を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(k+2)\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
\(4k^2-4k-8>0\)
これを解くと、
\(k< -1,2< k\)・・・(1)
・軸の位置>0を満たす。
\(x^2-2kx+k+2\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2+k+2\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k>0\)・・・(2)
・\(f(0)\)>0を満たす。
\(k+2>0\)
\(k>-2\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(k>-2\)
(2)2つの解が共に負
・D>0を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(k+2)\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
\(4k^2-4k-8>0\)
これを解くと、
\(k< -1,2< k\)・・・(1)
・軸の位置<0を満たす。
\(x^2-2kx+k+2\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2+k+2\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k<0\)・・・(2)
・\(f(0)\)>0を満たす。
\(k+2>0\)
\(k>-2\)・・・(3)
よって、(1)、(2)、(3)より
\(-2< k< -1\)
(3)2つの解が正と負
・\(f(0)\)<0を満たす。
\(k+2<0\)
\(k<-2\)
5.次の方程式を解きなさい。
(1)\(|x^2-2|=2\)
(a)\(x^2-2\geqq0\)のとき、\(x\leqq -\sqrt{2},\sqrt{2}\leqq x\)
\(x^2-2=2\)
これを解くと、\(x=\pm2\)
よって、\(x=-2,2\)
(b)\(x^2-2< 0\)のとき、\(-\sqrt{2}< x < \sqrt{2}\)
\(-(x^2-2)=2\)
これを解くと、\(x=0\)
よって、\(x=0\)
(a)、(b)より、
【答】\(x=-2,0,2\)
(2)\(x^2-5x-2=2|x-1|\)
(a)\(x-1\geqq0\)のとき、\(x\geqq -1\)
\(x^2-5x-2=2(x-1)\)
これを解くと、\(x=0,7\)
よって、\(x=7\)
(b)\(x-1< 0\)のとき、\(x<1\)
\(x^2-5x-2=-2(x-1)\)
これを解くと、\(x=-1,4\)
よって、\(x=-1\)
(a)、(b)より、
【答】\(x=-1,7\)
(3)\(|x^2-9|=x+3\)
(a)\(x^2-9\geqq0\)のとき、\(x\geqq -3,3\geqq x\)
\(x^2-9=x+3\)
これを解くと、\(x=-3,4\)
よって、\(x=-3,4\)
(b)\(x^2-9< 0\)のとき、\(-3< x< 3\)
\(-(x^2-9)=x+3\)
これを解くと、\(x=-3,2\)
よって、\(x=2\)
(a)、(b)より、
【答】\(x=-3,2,4\)
(4)\(|x^2-8x-3|=2x+8\)
(a)\(x^2-8x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq 4-\sqrt{19},4+\sqrt{19}\leqq x\)
\(x^2-8x-3=2x+8\)
これを解くと、\(x=-1,11\)
よって、\(x=-1,11\)
(b)\(x^2-8x-3< 0\)のとき、\(4-\sqrt{19}< x< 4+\sqrt{19}\)
\(-(x^2-8x-3)=2x+8\)
これを解くと、\(x=1,5\)
よって、\(x=1,5\)
(a)、(b)より、
【答】\(x=-1,1,5,11\)
6.次の不等式を解きなさい。
(1)\(x^2-5x-2<2|x-1|\)
(a)\(x-1\geqq0\)のとき、\(x\geqq 1\)
\(x^2-5x-2<2(x-1)\)
これを解くと、\(0< x< 7\)
よって、\(1\leqq x< 7\)
(b)\(x-1< 0\)のとき、\(x<1\)
\(x^2-5x-2<-2(x-1)\)
これを解くと、\(-1< x< 7\)
よって、\(-1< x< 1\)
(a)、(b)より、
【答】\(-1< x< 7\)
(2)\(|x^2-8x-3|>2x+8\)
(a)\(x^2-8x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq 4-\sqrt{19},4+\sqrt{19}\leqq x\)
\(x^2-8x-3>2x+8\)
これを解くと、\(x< -1,11< x\)
よって、\(x< -1,11< x\)
(b)\(x^2-8x-3< 0\)のとき、\(4-\sqrt{19}< x< 4+\sqrt{19}\)
\(-(x^2-8x-3)>2x+8\)
これを解くと、\(1< x< 5\)
よって、\(1< x< 5\)
(a)、(b)より、
【答】\(x< -1,1< x< 5,11< x\)