【高校数学Ⅰ】2-4-2 二次不等式の応用｜問題集

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =k^2-4×2×1\)
\(\ \ \ =k^2-8\)
よって、
\(k<-2\sqrt{2},2\sqrt{2}< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=\pm2\sqrt{2}\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-2\sqrt{2}< k< 2\sqrt{2}\)のとき、共有点は\(0\)個

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =k^2-4×1×(3k-5)\)
\(\ \ \ =k^2-12k+20\)
よって、
\(k<2,10< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=2,10\)のとき、共有点は\(1\)個
\(2< k< 10\)のとき、共有点は\(0\)個

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(k-2)^2-4×1×(-k+10)\)
\(\ \ \ =k^2-36\)
よって、
\(k<-6,6< k\)のとき、共有点は\(2\)個
\(k=\pm6\)のとき、共有点は\(1\)個
\(-6< k< 6\)のとき、共有点は\(0\)個

縦を\(x\)mとすると、横の長さは\((20-x)\)m
\(x(20-x)\geqq 75\)
これを解くと、
\(5\leqq x\leqq 15\)
よって、
縦の長さを\(5\)m以上\(15\)m以下にすればよい。

\(y=2x^2+4ax-3a-1\)を平方完成すると、
\(y=2(x+a)^2-2a^2-3a-1\)
頂点は\((-a,-2a^2-3a-1)\)となる。
この頂点で第\(4\)象限にあるためには、
\(\left\{\begin{array}{l}-a> 0&(1) \\ -2a^2-3a-1< 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(a< 0\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle a< -1,-\frac{1}{2}< a\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle a< -1,-\frac{1}{2}< a< 0\)

・\(D>0\)を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(k+2)\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
\(4k^2-4k-8>0\)
これを解くと、
\(k< -1,2< k\)・・・(1)

・軸の位置\(>0\)を満たす。
\(x^2-2kx+k+2\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2+k+2\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k>0\)・・・(2)

・\(f(0)>0\)を満たす。
\(k+2>0\)
\(k>-2\)・・・(3)

よって、(1)、(2)、(3)より
\(k>-2\)

・\(D>0\)を満たす。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2k)^2-4×1×(k+2)\)
\(\ \ \ =4k^2-4k-8\)
\(4k^2-4k-8>0\)
これを解くと、
\(k< -1,2< k\)・・・(1)

・軸の位置\(<0\)を満たす。
\(x^2-2kx+k+2\)を平方完成すると、
\((x-k)^2-k^2+k+2\)
軸の位置は\(x=k\)なので、
\(k<0\)・・・(2)

・\(f(0)>0\)を満たす。
\(k+2>0\)
\(k>-2\)・・・(3)

よって、(1)、(2)、(3)より
\(-2< k< -1\)

・\(f(0)<0\)を満たす。
\(k+2<0\)
\(k<-2\)

(a)\(x^2-2\geqq0\)のとき、\(x\leqq -\sqrt{2},\sqrt{2}\leqq x\)
\(x^2-2=2\)
これを解くと、\(x=\pm2\)
よって、\(x=-2,2\)

(b)\(x^2-2< 0\)のとき、\(-\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\)
\(-(x^2-2)=2\)
これを解くと、\(x=0\)
よって、\(x=0\)

(a)、(b)より、
\(x=-2,0,2\)

(a)\(x-1\geqq0\)のとき、\(x\geqq -1\)
\(x^2-5x-2=2(x-1)\)
これを解くと、\(x=0,7\)
よって、\(x=7\)

(b)\(x-1< 0\)のとき、\(x<1\)
\(x^2-5x-2=-2(x-1)\)
これを解くと、\(x=-1,4\)
よって、\(x=-1\)

(a)、(b)より、
\(x=-1,7\)

(a)\(x^2-9\geqq0\)のとき、\(x\geqq -3,3\geqq x\)
\(x^2-9=x+3\)
これを解くと、\(x=-3,4\)
よって、\(x=-3,4\)

(b)\(x^2-9< 0\)のとき、\(-3< x< 3\)
\(-(x^2-9)=x+3\)
これを解くと、\(x=-3,2\)
よって、\(x=2\)

(a)、(b)より、
\(x=-3,2,4\)

(a)\(x^2-8x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq 4-\sqrt{19},4+\sqrt{19}\leqq x\)
\(x^2-8x-3=2x+8\)
これを解くと、\(x=-1,11\)
よって、\(x=-1,11\)

(b)\(x^2-8x-3< 0\)のとき、\(4-\sqrt{19}< x< 4+\sqrt{19}\)
\(-(x^2-8x-3)=2x+8\)
これを解くと、\(x=1,5\)
よって、\(x=1,5\)

(a)、(b)より、
\(x=-1,1,5,11\)

(a)\(x-1\geqq0\)のとき、\(x\geqq 1\)
\(x^2-5x-2<2(x-1)\)
これを解くと、\(0< x< 7\)
よって、\(1\leqq x< 7\)

(b)\(x-1< 0\)のとき、\(x<1\)
\(x^2-5x-2<-2(x-1)\)
これを解くと、\(-1< x< 7\)
よって、\(-1< x< 1\)

(a)、(b)より、
\(-1< x< 7\)

(a)\(x^2-8x-3\geqq0\)のとき、\(x\leqq 4-\sqrt{19},4+\sqrt{19}\leqq x\)
\(x^2-8x-3>2x+8\)
これを解くと、\(x< -1,11< x\)
よって、\(x< -1,11< x\)

(b)\(x^2-8x-3< 0\)のとき、\(4-\sqrt{19}< x< 4+\sqrt{19}\)
\(-(x^2-8x-3)>2x+8\)
これを解くと、\(1< x< 5\)
よって、\(1< x< 5\)

(a)、(b)より、
\(x< -1,1< x< 5,11< x\)