【高校数学Ⅰ】2-2-3 二次関数の頂点・定義域｜問題集
1.\(y=x^2-2ax+4\ (0\leqq x \leqq4)\)について、次の問いに答えなさい。
(1)最小値を求めなさい。
\(y=x^2-2ax+4\)を平方完成すると、
\(y=(x-a)^2-a^2+4\)
頂点は\((a,-a^2+4)\)となる。
(ⅰ)\(a<0\)のとき
→頂点が定義域より小さいので、定義域の最小が最小値になる。
最小値:\(4\ (x=0\)のとき\()\)
(ⅱ)\(0\leqq a\leqq 4\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-a^2+4\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅲ)\(4< a\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(20-8a\ (x=4\)のとき\()\)
\(y=(x-a)^2-a^2+4\)
頂点は\((a,-a^2+4)\)となる。
(ⅰ)\(a<0\)のとき
→頂点が定義域より小さいので、定義域の最小が最小値になる。
最小値:\(4\ (x=0\)のとき\()\)
(ⅱ)\(0\leqq a\leqq 4\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-a^2+4\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅲ)\(4< a\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(20-8a\ (x=4\)のとき\()\)
(2)最大値を求めなさい。
\(y=x^2-2ax+4\)を平方完成すると、
\(y=(x-a)^2-a^2+4\)
頂点は\((a,-a^2+4)\)となる。
(ⅰ)\(a<2\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(20-8a\ (x=4\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a\geqq 2\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(4\ (x=0\)のとき\()\)
\(y=(x-a)^2-a^2+4\)
頂点は\((a,-a^2+4)\)となる。
(ⅰ)\(a<2\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(20-8a\ (x=4\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a\geqq 2\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(4\ (x=0\)のとき\()\)
2.\(a>0\)のとき、\(y=x^2-4x+5\ (0\leqq x \leqq a)\)について、次の問いに答えなさい。
(1)最小値を求めなさい。
\(y=x^2-4x+5\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2+1\)
頂点は\((2,1)\)となる。
(ⅰ)\(0< a< 2\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(a^2-4a+5\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅱ)\(2\leqq a\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(1\ (x=2\)のとき\()\)
\(y=(x-2)^2+1\)
頂点は\((2,1)\)となる。
(ⅰ)\(0< a< 2\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(a^2-4a+5\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅱ)\(2\leqq a\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(1\ (x=2\)のとき\()\)
(2)最大値を求めなさい。
\(y=x^2-4x+5\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2+1\)
頂点は\((2,1)\)となる。
(ⅰ)\(0< a< 4\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(5\ (x=0\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a=4\)のとき
→頂点が定義域の中間なので、定義域の最大・最小が最大値になる。
最大値:\(5\ (x=0,4\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a>4\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(a^2-4a+5\ (x=a\)のとき\()\)
\(y=(x-2)^2+1\)
頂点は\((2,1)\)となる。
(ⅰ)\(0< a< 4\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(5\ (x=0\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a=4\)のとき
→頂点が定義域の中間なので、定義域の最大・最小が最大値になる。
最大値:\(5\ (x=0,4\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a>4\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(a^2-4a+5\ (x=a\)のとき\()\)
3.\(y=x^2-4x+3\ (a\leqq x \leqq a+2)\)について、次の問いに答えなさい。
(1)最小値を求めなさい。
\(y=x^2-4x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。
(ⅰ)\(a< 0\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(a^2-1\ (x=a+2\)のとき\()\)
(ⅱ)\(0\leqq a< 2\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-1\ (x=2\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a\geqq 2\)のとき
→頂点が定義域より小さいので、定義域の最小が最小値になる。
最小値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。
(ⅰ)\(a< 0\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(a^2-1\ (x=a+2\)のとき\()\)
(ⅱ)\(0\leqq a< 2\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-1\ (x=2\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a\geqq 2\)のとき
→頂点が定義域より小さいので、定義域の最小が最小値になる。
最小値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)
(2)最大値を求めなさい。
\(y=x^2-4x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。
(ⅰ)\(a< 1\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a=1\)のとき
→頂点が定義域の中間なので、定義域の最大・最小が最大値になる。
最大値:\(0\ (x=1,3\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a\geqq1\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(a^2-1\ (x=a+2\)のとき\()\)
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。
(ⅰ)\(a< 1\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)
(ⅱ)\(a=1\)のとき
→頂点が定義域の中間なので、定義域の最大・最小が最大値になる。
最大値:\(0\ (x=1,3\)のとき\()\)
(ⅲ)\(a\geqq1\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(a^2-1\ (x=a+2\)のとき\()\)
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