【高校数学Ⅰ】3-3-2 余弦定理｜問題集

余弦定理より、
\(a^2=4^2+6^2-2\times4\times6\cos60^{\circ}\)
\(\displaystyle \ \ \ =16+36-48\times\frac{1}{2}\)
\(\ \ \ =28\)
\(a>0\)より、
\(a=2\sqrt{7}\)

余弦定理より、
\((\sqrt{13})^2=4^2+b^2-2\times4\times b\cos60^{\circ}\)
\(\displaystyle 13=16+b^2-8b\times\frac{1}{2}\)
\(b^2-4b+3=0\)
\((b-1)(b-3)=0\)
\(b=1,3\)

余弦定理より、
\(\displaystyle \cos B=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\times5\times8}\)
\(\displaystyle =\frac{40}{80}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(B=60^{\circ}\)

余弦定理より、
\(b^2=3^2+4^2-2\times3\times4\cos60^{\circ}\)
\(\displaystyle \ \ \ =9+16-24\times\frac{1}{2}\)
\(\ \ \ =13\)
\(b>0\)より、
\(b=\sqrt{13}\)

\(a^2=9^2=81\)
\(b^2+c^2=(3\sqrt{2})^2+7^2=67\)
\(a^2> b^2+c^2\)より、
鈍角三角形

\(a^2=(\sqrt{7})^2=7\)
\(b^2+c^2=(\sqrt{6})^2+2^2=10\)
\(a^2< b^2+c^2\)より、
鋭角三角形

条件より、
\(a=13k,b=15k,c=7k\)とおく。
余弦定理より、
\(\displaystyle \cos A=\frac{(15k)^2+(7k)^2-(13k)^2}{2\times15k\times7k}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{105k^2}{210k^2}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{2}\)
\(A=60^{\circ}\)

条件より、
\(a=7k,b=5k,c=3k\)とおく。
余弦定理より、
\(\displaystyle \cos A=\frac{(5k)^2+(3k)^2-(7k)^2}{2\times5k\times3k}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{-15k^2}{30k^2}\)
\(\displaystyle \ \ \ =-\frac{1}{2}\)
\(A=120^{\circ}\)