【高校数学Ⅰ】3-3-2 余弦定理｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「余弦定理」について解説しています。三角形の辺と角の関係を表す公式の意味と使い方を整理し、図や例題を通して基礎から応用まで学べる内容です。定期テストや大学入試対策にも役立ちます。
余弦定理｜公式と応用例
【余弦定理】
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
【例題】\(△ABC\)において次の問いに答えなさい。
(1)\(a=4,c=3,B=120^{\circ}\)のとき、\(b\)を求めなさい。
余弦定理より、
\(b^2=4^2+3^2-2\times4\times3\cos120^{\circ}\)
\(\displaystyle \ \ \ =16+9-24\times\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\ \ \ =37\)
\(b>0\)より、
\(b=\sqrt{37}\)
\(b^2=4^2+3^2-2\times4\times3\cos120^{\circ}\)
\(\displaystyle \ \ \ =16+9-24\times\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\ \ \ =37\)
\(b>0\)より、
\(b=\sqrt{37}\)
(2)\(a=2\sqrt{5},b=6,c=4\sqrt{2}\)のとき、\(A\)を求めなさい。
余弦定理より、
\(\displaystyle \cos A=\frac{6^2+(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{5})^2}{2\times6\times4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{36+32-20}{48\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=45^{\circ}\)
\(\displaystyle \cos A=\frac{6^2+(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{5})^2}{2\times6\times4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{36+32-20}{48\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=45^{\circ}\)
三角形の辺と角の条件｜図を使った理解
【三角形の辺と角の条件】
\(△ABC\)の3つの辺\(a,b,c\)で\(a\)が最大の辺とする。
(1)\(a^2< b^2+c^2\)のとき、\(△ABC\)は鋭角三角形
(2)\(a^2= b^2+c^2\)のとき、\(△ABC\)は直角三角形
(3)\(a^2> b^2+c^2\)のとき、\(△ABC\)は鈍角三角形
【例題】\(△ABC\)は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えなさい。
(1)\(a=7,b=4,c=6\)
\(a^2=7^2=49\)
\(b^2+c^2=4^2+6^2=52\)
\(a^2< b^2+c^2\)より、
鋭角三角形
\(b^2+c^2=4^2+6^2=52\)
\(a^2< b^2+c^2\)より、
鋭角三角形
(2)\(a=\sqrt{7},b=6,c=4\)
\(b^2=6^2=36\)
\(a^2+c^2=(\sqrt{7})^2+4^2=23\)
\(b^2> a^2+c^2\)より、
鈍角三角形
\(a^2+c^2=(\sqrt{7})^2+4^2=23\)
\(b^2> a^2+c^2\)より、
鈍角三角形
(3)\(a=13,b=5,c=12\)
\(a^2=13^2=169\)
\(b^2+c^2=5^2+12^2=169\)
\(a^2=b^2+c^2\)より、
直角三角形
\(b^2+c^2=5^2+12^2=169\)
\(a^2=b^2+c^2\)より、
直角三角形
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