【高校数学Ⅰ】2-2-3 二次関数の頂点・定義域｜要点まとめ

\(y=x^2-2ax+5\)を平方完成すると、
\(y=(x-a)^2-a^2+5\)
頂点は\((a,-a^2+5)\)となる。

(ⅰ)\(a<0\)のとき
→頂点が定義域より小さいので、定義域の最小が最小値になる。
最小値:\(5\ (x=0\)のとき\()\)

(ⅱ)\(0\leqq a\leqq 4\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-a^2+5\ (x=a\)のとき\()\)

(ⅲ)\(4< a\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(21-8a\ (x=4\)のとき\()\)

\(y=x^2-2ax+5\)を平方完成すると、
\(y=(x-a)^2-a^2+5\)
頂点は\((a,-a^2+5)\)となる。

(ⅰ)\(a<2\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(21-8a\ (x=4\)のとき\()\)

(ⅱ)\(a\geqq 2\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(5\ (x=0\)のとき\()\)

\(y=x^2-4x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。

(ⅰ)\(0< a< 2\)のとき
→頂点が定義域より大きいので、定義域の最大が最小値になる。
最小値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)

(ⅱ)\(2\leqq a\)のとき
→頂点が定義域なので、頂点が最小値になる。
最小値:\(-1\ (x=2\)のとき\()\)

\(y=x^2-4x+3\)を平方完成すると、
\(y=(x-2)^2-1\)
頂点は\((2,-1)\)となる。

(ⅰ)\(0< a< 4\)のとき
→頂点が定義域の中間より大きいので、定義域の最小が最大値になる。
最大値:\(3\ (x=0\)のとき\()\)

(ⅱ)\(a=4\)のとき
→頂点が定義域の中間なので、定義域の最大・最小が最大値になる。
最大値:\(3\ (x=0,4\)のとき\()\)

(ⅲ)\(a>4\)のとき
→頂点が定義域の中間より小さいので、定義域の最大が最大値になる。
最大値:\(a^2-4a+3\ (x=a\)のとき\()\)