【高校数学Ⅰ】2-2-2 二次関数の決定｜問題集
1.次の連立方程式を解きなさい。
(1)\(\left\{\begin{array}{l}x+y+z=5・・・(1) \\ 4x+2y+z=10・・・(2)\\ 9x+3y+z=19・・・(3)\end{array}\right.\)
\((2)-(1)\)より、\(3x+y=5\)・・・(4)
\((3)-(2)\)より、\(5x+y=9\)・・・(5)
\((5)-(4)\)より、\(2x=4\)
よって、\(x=2\)
(4)に代入して、\(y=-1\)
(1)に代入して、\(z=4\)
よって、\(x=2,y=-1,z=4\)
\((3)-(2)\)より、\(5x+y=9\)・・・(5)
\((5)-(4)\)より、\(2x=4\)
よって、\(x=2\)
(4)に代入して、\(y=-1\)
(1)に代入して、\(z=4\)
よって、\(x=2,y=-1,z=4\)
(2)\(\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6・・・(1) \\ 4x-3y+2z=4・・・(2)\\ 5x+4y-3z=4・・・(3)\end{array}\right.\)
\((2)-(1)×2\)より、\(2x-5y=-8\)・・・(4)
\((3)+(1)×3\)より、\(8x+7y=22\)・・・(5)
\((5)-(4)×4\)より、\(27y=54\)
よって、\(y=2\)
(4)に代入して、\(x=1\)
(1)に代入して、\(z=3\)
よって、\(x=1,y=2,z=3\)
\((3)+(1)×3\)より、\(8x+7y=22\)・・・(5)
\((5)-(4)×4\)より、\(27y=54\)
よって、\(y=2\)
(4)に代入して、\(x=1\)
(1)に代入して、\(z=3\)
よって、\(x=1,y=2,z=3\)
(3)\(\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=5・・・(1) \\ 4x-2y+3z=8・・・(2)\\ 2x+4y+z=-2・・・(3)\end{array}\right.\)
\((1)×2-(2)\)より、\(8y+5z=2\)・・・(4)
\((1)-(3)\)より、\(-y+3z=7\)・・・(5)
\((4)+(5)×8\)より、\(29z=58\)
よって、\(z=2\)
(4)に代入して、\(y=-1\)
(1)に代入して、\(x=0\)
よって、\(x=0,y=-1,z=2\)
\((1)-(3)\)より、\(-y+3z=7\)・・・(5)
\((4)+(5)×8\)より、\(29z=58\)
よって、\(z=2\)
(4)に代入して、\(y=-1\)
(1)に代入して、\(x=0\)
よって、\(x=0,y=-1,z=2\)
2.次の条件を満たす二次関数を求めなさい。
(1)頂点が\((-2,4)\)で、\((-4,2)\)を通る。
頂点が\((-2,4)\)なので、求める二次関数を\(y=a(x+2)^2+4\)とおく。
\((-4,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(-4+2)^2+4\)
\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4\)
\((-4,2)\)を通るので、代入すると
\(2=a(-4+2)^2+4\)
\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4\)
(2)軸が\(x=1\)で、\((3,-6),(0,-3)\)を通る。
軸が\(x=1\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-1)^2+q\)とおく。
\((3,-6),(0,-3)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-6=a(3-1)^2+q \\ -3=a(0-1)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,q=-2\)
よって、
\(y=-(x-1)^2-2\)
\((3,-6),(0,-3)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-6=a(3-1)^2+q \\ -3=a(0-1)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,q=-2\)
よって、
\(y=-(x-1)^2-2\)
(3)\(x\)軸との交点が\((1,0),(3,0)\)で、y切片が\(3\)である。
\(x\)軸との交点が\((1,0),(3,0)\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-1)(x-3)\)とおく。
\((0,3)\)を通るので、代入すると
\(3=a(-1)(-3)\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)(x-3)\)
\((0,3)\)を通るので、代入すると
\(3=a(-1)(-3)\)
\(a=1\)
よって、
\(y=(x-1)(x-3)\)
(4)\((2,-2),(3,5),(-1,1)\)を通る。
求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおく。
\((2,-2),(3,5),(-1,1)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-2=4a+2b+c \\ 5=9a+3b+c\\ 1=a-b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=2,b=-3,c=-4\)
よって、
\(y=2x^2-3x-4\)
\((2,-2),(3,5),(-1,1)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-2=4a+2b+c \\ 5=9a+3b+c\\ 1=a-b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=2,b=-3,c=-4\)
よって、
\(y=2x^2-3x-4\)
(5)\((-1,-2),(1,6),(2,7)\)を通る。
求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおく。
\((-1,-2),(1,6),(2,7)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-2=a-b+c \\ 6=a+b+c\\ 7=4a+2b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,b=4,c=3\)
よって、
\(y=-x^2+4x+3\)
\((-1,-2),(1,6),(2,7)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}-2=a-b+c \\ 6=a+b+c\\ 7=4a+2b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,b=4,c=3\)
よって、
\(y=-x^2+4x+3\)
(6)\((2,0),(1,1),(3,5)\)を通る。
求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおく。
\((2,0),(1,1),(3,5)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}0=4a+2b+c \\ 1=a+b+c\\ 5=9a+3b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=3,b=-10,c=8\)
よって、
\(y=3x^2-10x+8\)
\((2,0),(1,1),(3,5)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}0=4a+2b+c \\ 1=a+b+c\\ 5=9a+3b+c\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=3,b=-10,c=8\)
よって、
\(y=3x^2-10x+8\)
(7)\(x=-1\)で最大となり、\((1,5),(3,-7)\)を通る。
最大値が\(x=-1\)なので、求める二次関数を\(y=a(x+1)^2+q\ (a<0)\)とおく。
\((1,5),(3,-7)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}5=a(1+1)^2+q \\ -7=a(3+1)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,q=9\)
\((a<0)\)を満たすので、
\(y=-(x+1)^2+9\)
\((1,5),(3,-7)\)を通るので、代入すると
\(\left\{\begin{array}{l}5=a(1+1)^2+q \\ -7=a(3+1)^2+q\end{array}\right.\)
これを解くと、\(a=-1,q=9\)
\((a<0)\)を満たすので、
\(y=-(x+1)^2+9\)
(8)\(x=2\)で最小値\(1\)をとり、\((4,9)\)を通る。
\(x=2\)で最小値が\(1\)なので、求める二次関数を\(y=a(x-2)^2+1\ (a>0)\)とおく。
\((4,9)\)を通るので、代入すると
\(9=a(4-2)^2+1\)
\(a=2\)
\((a>0)\)を満たすので、
\(y=2(x-2)^2+1\)
\((4,9)\)を通るので、代入すると
\(9=a(4-2)^2+1\)
\(a=2\)
\((a>0)\)を満たすので、
\(y=2(x-2)^2+1\)
3.次の二次関数の定数\(c\)を求めなさい。また、最大値・最小値も求めなさい。
(1)\(y=x^2-2x+c\ (-2\leqq x\leqq 2)\)の最大値が\(5\)である。
\(y=x^2-2x+c\)を平方完成すると、
\(y=(x-1)^2-1+c\)
頂点は\((1,-1+c)\)となる。
最大値は軸\(x=1\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=-2\)のとき、最大値\(5\)をとる。
\(5=(-2)^2-2×(-2)+c\)
\(c=-3\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-4\ (x=1\)のとき\()\)
\(y=(x-1)^2-1+c\)
頂点は\((1,-1+c)\)となる。
最大値は軸\(x=1\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=-2\)のとき、最大値\(5\)をとる。
\(5=(-2)^2-2×(-2)+c\)
\(c=-3\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-4\ (x=1\)のとき\()\)
(2)\(y=x^2+4x+c\ (-1\leqq x\leqq 0)\)の最大値が\(2\)である。
\(y=x^2+4x+c\)を平方完成すると、
\(y=(x+2)^2-4+c\)
頂点は\((-2,-4+c)\)となる。
最大値は軸\(x=-2\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=0\)のとき、最大値\(2\)をとる。
\(2=0^2-2×0+c\)
\(c=2\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-1\ (x=-1\)のとき\()\)
\(y=(x+2)^2-4+c\)
頂点は\((-2,-4+c)\)となる。
最大値は軸\(x=-2\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=0\)のとき、最大値\(2\)をとる。
\(2=0^2-2×0+c\)
\(c=2\)
最小値は頂点をとったときなので、
最小値:\(-1\ (x=-1\)のとき\()\)
(3)\(y=-x^2+6x+c\ (1\leqq x\leqq 4)\)の最小値が\(-7\)である。
\(y=-x^2+6x+c\)を平方完成すると、
\(y=-(x-3)^2+9+c\)
頂点は\((3,9+c)\)となる。
最小値は軸\(x=3\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=1\)のとき、最小値\(-7\)をとる。
\(-7=-1^2+6×1+c\)
\(c=-12\)
最大値は頂点をとったときなので、
最大値:\(-3\ (x=3\)のとき\()\)
\(y=-(x-3)^2+9+c\)
頂点は\((3,9+c)\)となる。
最小値は軸\(x=3\)から最も離れた点で最大値をとるので、\(x=1\)のとき、最小値\(-7\)をとる。
\(-7=-1^2+6×1+c\)
\(c=-12\)
最大値は頂点をとったときなので、
最大値:\(-3\ (x=3\)のとき\()\)
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