1-4-3 命題と証明(問題集)

1.\(x,y\)は実数、\(m,n\)は整数とすしたとき、次の条件の否定を答えなさい。

(1)\(x\)は無理数である。

(2)\(x\neq 0\)または\(y=0\)

(3)\(x\leqq 0\)または\(y>0\)

(4)\(-2\leqq x< 1\)

(5)\(m,n\)はともに偶数である。

(6)\(x\neq 1\)

(7)\(x+y\geqq 2\)

(8)\(x\)は奇数である。

(9)\(x=2\)

(10)\(-2< x\leqq 1\)

(11)\(x\)は\(3\)より小さい。

(12)\(x< -1\)かつ\(y\geqq 0\)

(13)\(x> 2\)または\(y\neq 0\)

(14)\(x,y\)の少なくとも一方は奇数である。

(15)\(x< 0\)または\(y< 0\)

(16)\(1< x\leqq 3\)

(17)\(a,b\)は共に無理数である。

2.\(x,y\)を実数としたとき、次の命題の逆の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示しなさい。

(1)\(x < y \Rightarrow x-y > 0\)である。

(2)\(x>0,y>0 \Rightarrow xy>0\)である。

(3)\(x\)が素数 \(\Rightarrow x\)は奇数である。

(4)\(x\)が\(3\)の倍数\(\Rightarrow x\)は\(9\)の倍数である。

3.\(x,y\)を実数、\(n\)を整数としたとき、次の命題の逆・裏・対偶の真偽を調べなさい。

(1)\(x^2\neq -x \Rightarrow x\neq -1\)

(a)逆

(b)裏

(c)対偶

(2)\(n\)は\(4\)の倍数\(\Rightarrow n\)は\(8\)の倍数

(a)逆

(b)裏

(c)対偶

(3)\(x+y\)は有理数\(\Rightarrow x\)または\(y\)は有理数

(a)逆

(b)裏

(c)対偶

4.\(x,y\)を実数、\(m,n\)を整数としたとき、次の命題を証明しなさい。

(1)\(n^2+4n+1\)が\(4\)の倍数ならば、\(n\)は奇数である。

(2)\(mn\)が偶数ならば、\(m,n\)は少なくとも偶数である。

(3)\(n\)が\(3\)の倍数でないならば、\(n\)は\(6\)の倍数でない。

(4)\(x+y>0\)ならば、\(x>0\)または\(y>0\)である。

(5)\(n^2\)が\(3\)の倍数ならば、\(n\)は\(3\)の倍数である。

(6)\(\sqrt{3}\)が無理数であることを用いて、\(1+2\sqrt{3}\)は無理数を証明しなさい。

(7)\(n\)が自然数のとき、\(n^2\)が\(3\)の倍数ならば、\(n\)は\(3\)の倍数であることを用いて、\(\sqrt{3}\)は無理数を証明しなさい。

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1章 数と式

1-1 整式

1-2 数

1-3 一次不等式

1-4 集合と命題

2章 二次関数

2-1 関数とグラフ

2-2 二次関数の最大・最小

2-3 二次関数と方程式

2-4 二次関数と不等式

3章 図形と計量

3-1 鋭角の三角比

3-2 鈍角の三角比

3-3 正弦定理と余弦定理

3-4 図形の計量

4章 データの分析

4-1 統計資料の整理

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