1.\(a < b\)のとき、次の整式を不等号を使って表しなさい。
(1)\(a+2,b+2\)
\(a+2 < b+2\)
(2)\(a-3,b-3\)
\(a-3 < b-3\)
(3)\(\displaystyle \frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}a < \frac{1}{2}b\)
(4)\(-4a,-4b\)
\(-4a > -4b\)
(5)\(\displaystyle \frac{a}{-3},\frac{b}{-3}\)
\(\displaystyle \frac{a}{-3} > \frac{b}{-3}\)
(6)\(6-5a,6-5b\)
\(6-5a > 6-5b\)
(7)\(a+5,b+5\)
\(a+5 < b+5\)
(8)\(3a,3b\)
\(3a < 3b\)
(9)\(\displaystyle -\frac{1}{4}a,-\frac{1}{4}b\)
\(\displaystyle -\frac{1}{4}a > -\frac{1}{4}b\)
(10)\(\displaystyle \frac{a}{2}-5,\frac{b}{2}-5\)
\(\displaystyle \frac{a}{2}-5 < \frac{b}{2}-5\)
(11)\(-2a+6,-2b+6\)
\(-2a+6 > -2b+6\)
2.次の不等式を解きなさい。
(1)\(6x-5 \geqq 8x+7\)
\begin{align} 6x-8x &\geqq 7+5 \\ -2x &\geqq 12 \\ x &\leqq -6 \end{align}
(2)\(x+0.6 \geqq 0.2x-1\)
\begin{align} 10x+6 &\geqq 2x-10 \\ 10x-2x &\geqq -10-6 \\ 8x &\geqq -16 \\ x &\geqq -2 \end{align}
(3)\(2(x-3)+1 > 4x-2\)
\begin{align} 2x-6+1 &> 4x-2 \\ 2x-4x &> -2+5 \\ -2x &> 3 \\ x &< -\frac{3}{2} \end{align}
(4)\(\displaystyle \frac{5}{6}x+\frac{3}{4} \leqq \frac{4}{3}x\)
\begin{align} 10x+9 &\leqq 16x \\ 10x-16x &\leqq -9 \\ -6x &\leqq -9 \\ x &\geqq \frac{3}{2} \end{align}
(5)\(\displaystyle \frac{3}{2}x-\frac{x-1}{3} \leqq 1\)
\begin{align} 9x-2(x-1) &\leqq 6 \\ 9x-2x+2 &\leqq 6 \\ 7x &\leqq 4 \\ x &\leqq \frac{4}{7} \end{align}
(6)\(x-3 < 1\)
\begin{align} x &< 4 \end{align}
(7)\(-2x \geqq 4\)
\begin{align} x &\leqq -2 \end{align}
(8)\(3x+1 > -5\)
\begin{align} 3x &> -6 \\ x &> -2 \end{align}
(9)\(-4x+3 \leqq -5\)
\begin{align} -4x &\leqq -8 \\ x &\geqq 2 \end{align}
(10)\(4x+3 \geqq 2x+1\)
\begin{align} 2x &\geqq -2 \\ x &\geqq -1 \end{align}
(11)\(7-x \leqq 4x+2\)
\begin{align} -5x &\leqq -5 \\ x &\geqq 1 \end{align}
(12)\(3(x-2) > 4x\)
\begin{align} 3x-6 &> 4x \\ -x &> 6 \\ x &< -6 \end{align}
(13)\(\displaystyle \frac{x}{2}-1 < \frac{x}{3}-\frac{1}{2}\)
\begin{align} 3x-6 &< 2x-3 \\ x &< 3 \end{align}
(14)\(x+2 \leqq -3\)
\begin{align} x &\leqq -5 \end{align}
(15)\(-3x > -9\)
\begin{align} x &< 3 \end{align}
(16)\(2x-5 \geqq -1\)
\begin{align} 2x &\geqq 4 \\ x &\geqq 2 \end{align}
(17)\(-5x-3 < 7\)
\begin{align} -5x &< 10 \\ x &> -2 \end{align}
(18)\(2x+3 \geqq -2x-5\)
\begin{align} 4x &\geqq -8 \\ x &\geqq -2 \end{align}
(19)\(x+4 \leqq 10+4x\)
\begin{align} -3x &\leqq 6 \\ x &\geqq -2 \end{align}
(20)\(2(3x-1) > 3(4x+5)+1\)
\begin{align} 6x-2 &> 12x+15+1 \\ -6x &> 18 \\ x &< -3 \end{align}
(21)\(\displaystyle \frac{x+8}{6} < \frac{x}{4}+1\)
\begin{align} 2(x+8) &< 3x+12 \\ 2x+16 &< 3x+12 \\ -x &< -4 \\ x &> 4 \end{align}
(22)\(7x+5 < 4x+11\)
\begin{align} 3x &< 6 \\ x &< 2 \end{align}
(23)\(\displaystyle \frac{1}{2}x-1 \leqq \frac{2}{7}x+\frac{1}{2}\)
\begin{align} 7x-14 &\leqq 4x+7 \\ 3x &\leqq 21 \\ x &\leqq 7 \end{align}
(24)\(2(3-2x) \geqq x-4\)
\begin{align} 6-4x &\geqq x-4 \\ -5x &\geqq -10 \\ x &\leqq 2 \end{align}
(25)\(\displaystyle \frac{1}{3}x+1 < \frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\)
\begin{align} 4x+12 &< 9x-6 \\ -5x &< -18 \\ x &> \frac{18}{5} \end{align}
3.次の連立不等式を解きなさい。
(1)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}6x-9 < 2x-1 \\ 3x+7 \leqq 4(2x+3) \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(6x-9 < 2x-1\)を解くと、
\(x < 2\)・・・(1)
\(3x+7 \leqq 4(2x+3)\)を解くと、
\(x \geqq -1\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(-1 \leqq x < 2\)
(2)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}3x+1 \geqq 7x-5 \\ -x+6 < 3(1-2x) \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(3x+1 \geqq 7x-5\)を解くと、
\(\displaystyle x \leqq \frac{3}{2}\)・・・(1)
\(-x+6 < 3(1-2x)\)を解くと、
\(\displaystyle x < -\frac{3}{5}\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(\displaystyle x < -\frac{3}{5}\)
(3)\(3x < x+12 < 2x+8\)
\(3x < x+12\)を解くと、
\(x < 6\)・・・(1)
\(x+12 < 2x+8\)を解くと、
\(x > 4\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(4 < x < 6\)
(4)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x \leqq 2x+1 \\ 9x-5 < 2x+9 \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(x \leqq 2x+1\)を解くと、
\(x \geqq -1\)・・・(1)
\(9x-5 < 2x+9\)を解くと、
\(x < 2\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(-1 \leqq x < 2\)
(5)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}3(x-1) > 5(x+1) \\ 3(x+2) \leqq 5(x+2) \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(3(x-1) > 5(x+1)\)を解くと、
\(x < -4\)・・・(1)
\(3(x+2) \leqq 5(x+2)\)を解くと、
\(x \geqq -2\)・・・(2)
(1)、(2)より、
共通範囲はないので、
【答】解はない。
(6)\(-x+1 < 2x+1 < 4x-5\)
\(-x+1 < 2x+1\)を解くと、
\(x > 0\)・・・(1)
\(2x+1 < 4x-5\)を解くと、
\(x > 3\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(x > 3\)
(7)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x+6 \leqq 4x \\ 1-3x < 15-5x \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(x+6 \leqq 4x\)を解くと、
\(x \geqq 2\)・・・(1)
\(1-3x < 15-5x\)を解くと、
\(x < 7\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(2 \leqq x < 7\)
(8)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}2(x+6) \leqq 3(4-x) \\ 0.7x+0.5 < x+2 \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(2(x+6) \leqq 3(4-x)\)を解くと、
\(x \leqq 0\)・・・(1)
\(0.7x+0.5 < x+2\)を解くと、
\(x > -5\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(-5 < x \leqq 0\)
(9)\(\displaystyle x-2 < -\frac{1}{2}x+1 < -3x-4\)
\(\displaystyle x-2 < -\frac{1}{2}x+1\)を解くと、
\(x < 2\)・・・(1)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+1 < -3x-4\)を解くと、
\(x < -2\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(x < -2\)
(10)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}5(2x+1) \leqq 7x+8 \\ 3x-5 < 5x-1 \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(5(2x+1) \leqq 7x+8\)を解くと、
\(x \leqq 1\)・・・(1)
\(3x-5 < 5x-1\)を解くと、
\(x > -2\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(-2 < x \leqq 1\)
(11)\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}(x+3) \leqq \frac{1}{3}x+\frac{1}{6} \\ 5x+7 < 6x+4 \end{array}\right.\end{eqnarray}
\(\displaystyle \frac{1}{6}(x+3) \leqq \frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\)を解くと、
\(x \geqq 2\)・・・(1)
\(5x+7 < 6x+4\)を解くと、
\(x > 3\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(x > 3\)
(12)\(0 \leqq 3(2-x) < 6\)
\(0 \leqq 3(2-x)\)を解くと、
\(x \leqq 2\)・・・(1)
\(3(2-x) < 6\)を解くと、
\(x > 0\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(0 < x \leqq 2\)
(13)\(6-2x < x < 18-5x\)
\(6-2x < x\)を解くと、
\(x > 2\)・・・(1)
\(x < 18-5x\)を解くと、
\(x < 3\)・・・(2)
(1)、(2)より、
【答】\(2 < x < 3\)
4.次の不等式を満たす最小の自然数\(n\)を求めなさい。
(1)\(600+25(n-20) \leqq 32n\)
\begin{align}
600+25n-500 &\leqq 32n \\
-7n &\leqq -100 \\
n &\geqq \frac{100}{7} = 14.2・・・
\end{align}
よって、
【答】\(n=15\)
(2)\(300+11(n-20) \leqq 20n\)
\begin{align}
300+11n-220 &\leqq 20n \\
-9n &\leqq -80 \\
n &\geqq \frac{80}{9} = 8.8・・・
\end{align}
よって、
【答】\(n=9\)
(3)\(700-15(2n+40) \leqq 0\)
\begin{align}
700-30n-600 &\leqq 0 \\
-30n &\leqq -100 \\
n &\geqq \frac{10}{3} = 3.3・・・
\end{align}
よって、
【答】\(n=4\)
5.次の不等式を満たす最大の自然数\(n\)を求めなさい。
(1)\(\displaystyle 10+\frac{1}{5}(n-3) > \frac{1}{3}n\)
\begin{align}
150+3(n-3) &> 5n \\
150+3n-9 &> 5n \\
-2n &> -141 \\
n &< \frac{141}{2} = 70.5
\end{align}
よって、
【答】\(n=70\)
(2)\(6n+8(4-n) > 5\)
\begin{align}
6n+32-8n &> 5 \\
-2n &> -27 \\
n &< \frac{27}{2} = 13.5
\end{align}
よって、
【答】\(n=13\)
6.1個120円のケーキと1個80円のドーナツを合わせて30個買って、100円の箱に詰めてもらう。合計金額3000円以下にするとき、ケーキは最大何個買えるか答えなさい。
ケーキの個数を\(x\)とすると、
ドーナツの個数は\(30-x\)
\begin{align}
120x+80(30-x)+100 &\leqq 3000 \\
120x+2400-80x+100 &\leqq 3000 \\
40x &\leqq 500 \\
x &\leqq \frac{500}{40} = 12.5
\end{align}
よって、
【答】\(12\)個
7.1本80円の鉛筆と1個120円の消しゴムを合わせて30個買って、400円の筆箱も買った。合計金額3500円以下にするとき、消しゴムは最大何個買えるか答えなさい。
消しゴムの個数を\(x\)とすると、
鉛筆の個数は\(30-x\)
\begin{align}
80(30-x)+120x+400 &\leqq 3500 \\
2400-80x+120x+400 &\leqq 3500 \\
40x &\leqq 700 \\
x &\leqq \frac{700}{40} = 17.5
\end{align}
よって、
【答】\(17\)個