【高校数学Ⅰ】1-3-1 一次不等式｜問題集
1.\(a< b\)のとき、次の整式を不等号を使って表しなさい。
(1)\(a+2,b+2\)
\(a+2< b+2\)
(2)\(a-3,b-3\)
\(a-3< b-3\)
(3)\(\displaystyle \frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}a< \frac{1}{2}b\)
(4)\(-4a,-4b\)
\(-4a> -4b\)
(5)\(\displaystyle \frac{a}{-3},\frac{b}{-3}\)
\(\displaystyle \frac{a}{-3}> \frac{b}{-3}\)
(6)\(6-5a,6-5b\)
\(6-5a> 6-5b\)
(7)\(a+5,b+5\)
\(a+5< b+5\)
(8)\(3a,3b\)
\(3a< 3b\)
(9)\(\displaystyle -\frac{1}{4}a,-\frac{1}{4}b\)
\(\displaystyle -\frac{1}{4}a> -\frac{1}{4}b\)
(10)\(\displaystyle \frac{a}{2}-5,\frac{b}{2}-5\)
\(\displaystyle \frac{a}{2}-5< \frac{b}{2}-5\)
(11)\(-2a+6,-2b+6\)
\(-2a+6> -2b+6\)
2.次の不等式を解きなさい。
(1)\(6x-5\geqq 8x+7\)
\(6x-8x\geqq 7+5\)
\(-2x\geqq 12\)
\(x\leqq -6\)
\(-2x\geqq 12\)
\(x\leqq -6\)
(2)\(x+0.6\geqq 0.2x-1\)
\(10x+6\geqq 2x-10\)
\(10x-2x\geqq -10-6\)
\(8x\geqq -16\)
\(x\geqq -2\)
\(10x-2x\geqq -10-6\)
\(8x\geqq -16\)
\(x\geqq -2\)
(3)\(2(x-3)+1> 4x-2\)
\(2x-6+1> 4x-2\)
\(2x-4x> -2+5\)
\(-2x> 3\)
\(\displaystyle x< -\frac{3}{2}\)
\(2x-4x> -2+5\)
\(-2x> 3\)
\(\displaystyle x< -\frac{3}{2}\)
(4)\(\displaystyle \frac{5}{6}x+\frac{3}{4}\leqq \frac{4}{3}x\)
\(10x+9\leqq 16x\)
\(10x-16x\leqq -9\)
\(-6x\leqq -9\)
\(\displaystyle x\geqq \frac{3}{2}\)
\(10x-16x\leqq -9\)
\(-6x\leqq -9\)
\(\displaystyle x\geqq \frac{3}{2}\)
(5)\(\displaystyle \frac{3}{2}x-\frac{x-1}{3}\leqq 1\)
\(9x-2(x-1)\leqq 6\)
\(9x-2x+2\leqq 6\)
\(7x\leqq 4\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{4}{7}\)
\(9x-2x+2\leqq 6\)
\(7x\leqq 4\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{4}{7}\)
(6)\(x-3< 1\)
\(x< 4\)
(7)\(-2x\geqq 4\)
\(x\leqq -2\)
(8)\(3x+1> -5\)
\(3x> -6\)
\(x> -2\)
\(x> -2\)
(9)\(-4x+3\leqq -5\)
\(-4x\leqq -8\)
\(x\geqq 2\)
\(x\geqq 2\)
(10)\(4x+3\geqq 2x+1\)
\(2x\geqq -2\)
\(x\geqq -1\)
\(x\geqq -1\)
(11)\(7-x\leqq 4x+2\)
\(-5x\leqq -5\)
\(x\geqq 1\)
\(x\geqq 1\)
(12)\(3(x-2)> 4x\)
\(3x-6> 4x\)
\(-x> 6\)
\(x< -6\)
\(-x> 6\)
\(x< -6\)
(13)\(\displaystyle \frac{x}{2}-1< \frac{x}{3}-\frac{1}{2}\)
\(3x-6< 2x-3\)
\(x< 3\)
\(x< 3\)
(14)\(x+2\leqq -3\)
\(x\leqq -5\)
(15)\(-3x> -9\)
\(x< 3\)
(16)\(2x-5\geqq -1\)
\(2x\geqq 4\)
\(x\geqq 2\)
\(x\geqq 2\)
(17)\(-5x-3< 7\)
\(-5x< 10\)
\(x> -2\)
\(x> -2\)
(18)\(2x+3\geqq -2x-5\)
\(4x\geqq -8\)
\(x\geqq -2\)
\(x\geqq -2\)
(19)\(x+4\leqq 10+4x\)
\(-3x\leqq 6\)
\(x\geqq -2\)
\(x\geqq -2\)
(20)\(2(3x-1)> 3(4x+5)+1\)
\(6x-2> 12x+15+1\)
\(-6x> 18\)
\(x< -3\)
\(-6x> 18\)
\(x< -3\)
(21)\(\displaystyle \frac{x+8}{6}< \frac{x}{4}+1\)
\(2(x+8)< 3x+12\)
\(2x+16< 3x+12\)
\(-x< -4\)
\(x> 4\)
\(2x+16< 3x+12\)
\(-x< -4\)
\(x> 4\)
(22)\(7x+5< 4x+11\)
\(3x< 6\)
\(x< 2\)
\(x< 2\)
(23)\(\displaystyle \frac{1}{2}x-1\leqq \frac{2}{7}x+\frac{1}{2}\)
\(7x-14\leqq 4x+7\)
\(3x\leqq 21\)
\(x\leqq 7\)
\(3x\leqq 21\)
\(x\leqq 7\)
(24)\(2(3-2x)\geqq x-4\)
\(6-4x\geqq x-4\)
\(-5x\geqq -10\)
\(x\leqq 2\)
\(-5x\geqq -10\)
\(x\leqq 2\)
(25)\(\displaystyle \frac{1}{3}x+1< \frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\)
\(4x+12< 9x-6\)
\(-5x< -18\)
\(\displaystyle x> \frac{18}{5}\)
\(-5x< -18\)
\(\displaystyle x> \frac{18}{5}\)
3.次の連立不等式を解きなさい。
(1)\(\left\{\begin{array}{l}6x-9< 2x-1 \\ 3x+7\leqq 4(2x+3)\end{array}\right.\)
\(6x-9< 2x-1\)を解くと、
\(x< 2\)・・・(1)
\(3x+7\leqq 4(2x+3)\)を解くと、
\(x\geqq -1\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-1\leqq x< 2\)
\(x< 2\)・・・(1)
\(3x+7\leqq 4(2x+3)\)を解くと、
\(x\geqq -1\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-1\leqq x< 2\)
(2)\(\left\{\begin{array}{l}3x+1\geqq 7x-5 \\ -x+6< 3(1-2x)\end{array}\right.\)
\(3x+1\geqq 7x-5\)を解くと、
\(\displaystyle x\leqq \frac{3}{2}\)・・・(1)
\(-x+6< 3(1-2x)\)を解くと、
\(\displaystyle x< -\frac{3}{5}\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(\displaystyle x< -\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{3}{2}\)・・・(1)
\(-x+6< 3(1-2x)\)を解くと、
\(\displaystyle x< -\frac{3}{5}\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(\displaystyle x< -\frac{3}{5}\)
(3)\(3x< x+12< 2x+8\)
\(3x< x+12\)を解くと、
\(x< 6\)・・・(1)
\(x+12< 2x+8\)を解くと、
\(x> 4\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(4< x< 6\)
\(x< 6\)・・・(1)
\(x+12< 2x+8\)を解くと、
\(x> 4\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(4< x< 6\)
(4)\(\left\{\begin{array}{l}x\leqq 2x+1 \\ 9x-5< 2x+9\end{array}\right.\)
\(x\leqq 2x+1\)を解くと、
\(x\geqq -1\)・・・(1)
\(9x-5< 2x+9\)を解くと、
\(x< 2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-1\leqq x < 2\)
\(x\geqq -1\)・・・(1)
\(9x-5< 2x+9\)を解くと、
\(x< 2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-1\leqq x < 2\)
(5)\(\left\{\begin{array}{l}3(x-1)> 5(x+1) \\ 3(x+2)\leqq 5(x+2)\end{array}\right.\)
\(3(x-1)> 5(x+1)\)を解くと、
\(x< -4\)・・・(1)
\(3(x+2)\leqq 5(x+2)\)を解くと、
\(x\geqq -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、共通範囲はないので解はない。
\(x< -4\)・・・(1)
\(3(x+2)\leqq 5(x+2)\)を解くと、
\(x\geqq -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、共通範囲はないので解はない。
(6)\(-x+1< 2x+1< 4x-5\)
\(-x+1< 2x+1\)を解くと、
\(x> 0\)・・・(1)
\(2x+1< 4x-5\)を解くと、
\(x> 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x> 3\)
\(x> 0\)・・・(1)
\(2x+1< 4x-5\)を解くと、
\(x> 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x> 3\)
(7)\(\left\{\begin{array}{l}x+6\leqq 4x \\ 1-3x< 15-5x\end{array}\right.\)
\(x+6\leqq 4x\)を解くと、
\(x\geqq 2\)・・・(1)
\(1-3x< 15-5x\)を解くと、
\(x< 7\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(2\leqq x < 7\)
\(x\geqq 2\)・・・(1)
\(1-3x< 15-5x\)を解くと、
\(x< 7\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(2\leqq x < 7\)
(8)\(\left\{\begin{array}{l}2(x+6)\leqq 3(4-x) \\ 0.7x+0.5< x+2\end{array}\right.\)
\(2(x+6)\leqq 3(4-x)\)を解くと、
\(x\leqq 0\)・・・(1)
\(0.7x+0.5< x+2\)を解くと、
\(x> -5\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-5< x \leqq 0\)
\(x\leqq 0\)・・・(1)
\(0.7x+0.5< x+2\)を解くと、
\(x> -5\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-5< x \leqq 0\)
(9)\(\displaystyle x-2< -\frac{1}{2}x+1< -3x-4\)
\(\displaystyle x-2< -\frac{1}{2}x+1\)を解くと、
\(x< 2\)・・・(1)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+1< -3x-4\)を解くと、
\(x< -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x< -2\)
\(x< 2\)・・・(1)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+1< -3x-4\)を解くと、
\(x< -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x< -2\)
(10)\(\left\{\begin{array}{l}5(2x+1)\leqq 7x+8 \\ 3x-5< 5x-1\end{array}\right.\)
\(5(2x+1)\leqq 7x+8\)を解くと、
\(x\leqq 1\)・・・(1)
\(3x-5< 5x-1\)を解くと、
\(x> -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-2< x\leqq 1\)
\(x\leqq 1\)・・・(1)
\(3x-5< 5x-1\)を解くと、
\(x> -2\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(-2< x\leqq 1\)
(11)\(\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{6}(x+3)\leqq \frac{1}{3}x+\frac{1}{6} \\ 5x+7 < 6x+4\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \frac{1}{6}(x+3)\leqq \frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\)を解くと、
\(x\geqq 2\)・・・(1)
\(5x+7< 6x+4\)を解くと、
\(x> 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x> 3\)
\(x\geqq 2\)・・・(1)
\(5x+7< 6x+4\)を解くと、
\(x> 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(x> 3\)
(12)\(0\leqq 3(2-x)< 6\)
\(0\leqq 3(2-x)\)を解くと、
\(x\leqq 2\)・・・(1)
\(3(2-x)< 6\)を解くと、
\(x> 0\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(0< x\leqq 2\)
\(x\leqq 2\)・・・(1)
\(3(2-x)< 6\)を解くと、
\(x> 0\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(0< x\leqq 2\)
(13)\(6-2x< x< 18-5x\)
\(6-2x< x\)を解くと、
\(x> 2\)・・・(1)
\(x< 18-5x\)を解くと、
\(x< 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(2< x< 3\)
\(x> 2\)・・・(1)
\(x< 18-5x\)を解くと、
\(x< 3\)・・・(2)
(1)、(2)より
よって、\(2< x< 3\)
4.次の不等式を満たす最小の自然数\(n\)を求めなさい。
(1)\(600+25(n-20)\leqq 32n\)
\(600+25n-500\leqq 32n\)
\(-7n\leqq -100\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{100}{7}=14.2・・・\)
よって、\(n=15\)
\(-7n\leqq -100\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{100}{7}=14.2・・・\)
よって、\(n=15\)
(2)\(300+11(n-20)\leqq 20n\)
\(300+11n-220\leqq 20n\)
\(-9n\leqq -80\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{80}{9}=8.8・・・\)
よって、\(n=9\)
\(-9n\leqq -80\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{80}{9}=8.8・・・\)
よって、\(n=9\)
(3)\(700-15(2n+40)\leqq 0\)
\(700-30n-600\leqq 0\)
\(-30n\leqq -100\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{10}{3}=3.3・・・\)
よって、\(n=4\)
\(-30n\leqq -100\)
\(\displaystyle n\geqq \frac{10}{3}=3.3・・・\)
よって、\(n=4\)
5.次の不等式を満たす最大の自然数\(n\)を求めなさい。
(1)\(\displaystyle 10+\frac{1}{5}(n-3)> \frac{1}{3}n\)
\(150+3(n-3)> 5n\)
\(150+3n-9> 5n\)
\(-2n> -141\)
\(\displaystyle n< \frac{141}{2}=70.5\)
よって、\(n=70\)
\(150+3n-9> 5n\)
\(-2n> -141\)
\(\displaystyle n< \frac{141}{2}=70.5\)
よって、\(n=70\)
(2)\(6n+8(4-n)> 5\)
\(6n+32-8n> 5\)
\(-2n> -27\)
\(\displaystyle n< \frac{27}{2}=13.5\)
よって、\(n=13\)
\(-2n> -27\)
\(\displaystyle n< \frac{27}{2}=13.5\)
よって、\(n=13\)
6.\(1\)個\(120\)円のケーキと\(1\)個\(80\)円のドーナツを合わせて\(30\)個買って、\(100\)円の箱に詰めてもらう。合計金額\(3000\)円以下にするとき、ケーキは最大何個買えるか答えなさい。
ケーキの個数を\(x\)とすると、
ドーナツの個数は\(30-x\)
\(120x+80(30-x)+100\leqq 3000\)
\(120x+2400-80x+100\leqq 3000\)
\(40x\leqq 500\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{500}{40}=12.5\)
よって、\(12\)個
ドーナツの個数は\(30-x\)
\(120x+80(30-x)+100\leqq 3000\)
\(120x+2400-80x+100\leqq 3000\)
\(40x\leqq 500\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{500}{40}=12.5\)
よって、\(12\)個
7.\(1\)本\(80\)円の鉛筆と\(1\)個\(120\)円の消しゴムを合わせて\(30\)個買って、\(400\)円の筆箱も買った。合計金額\(3500\)円以下にするとき、消しゴムは最大何個買えるか答えなさい。
消しゴムの個数を\(x\)とすると、
鉛筆の個数は\(30-x\)
\(80(30-x)+120x+400\leqq 3500\)
\(2400-80x+120x+400\leqq 3500\)
\(40x\leqq 700\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{700}{40}=17.5\)
よって、\(17\)個
鉛筆の個数は\(30-x\)
\(80(30-x)+120x+400\leqq 3500\)
\(2400-80x+120x+400\leqq 3500\)
\(40x\leqq 700\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{700}{40}=17.5\)
よって、\(17\)個
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