2-4-1 二次不等式(要点)

【\(x\)軸との共有点が2個のとき】

二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解を\(α,β(α<β)\)とする。
(1)\(ax^2+bx+c>0\)のとき

\(x < α,β < x\) (2)\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき \(x \leqq α,β \leqq x\) (3)\(ax^2+bx+c<0\)のとき \(α< x <β\) (4)\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき \(α\leqq x \leqq β\)

【例題】次の二次不等式を答えなさい。

(1)\(2x^2-5x+2>0\)

\((2x-1)(x-2)>0\)
\(\displaystyle x < \frac{1}{2},2 < x\)

(2)\(-x^2+4x-1\geqq 0\)

\(x^2-4x+1\leqq 0\)
\(2-\sqrt{3}\leqq x \leqq 2+\sqrt{3}\)

【\(x\)軸との共有点が1個のとき】

二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の重解を\(γ\)とする。
(1)\(ax^2+bx+c>0\)のとき

\(x < γ,γ < x\) (2)\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき \(x\)は全ての実数 (3)\(ax^2+bx+c<0\)のとき 解なし (4)\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき \(x=γ\)

【例題】次の二次不等式を答えなさい。

(1)\(x^2-6x+9>0\)

\((x-3)^2>0\)
\(3\)以外の全ての実数

(2)\(-4x^2+4x-1\geqq 0\)

\(4x^2-4x+1\leqq 0\)
\((2x-1)^2\leqq 0\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)

【\(x\)軸との共有点が0個のとき】

(1)\(ax^2+bx+c>0\)、\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき

\(x\)は全ての実数 (2)\(ax^2+bx+c<0\)、\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき 解なし

【例題】次の二次不等式を答えなさい。

(1)\(x^2+2x+9>0\)

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =2^2-4×1×9\)
\(\ \ \ =-32\)
\(x\)は全ての実数

(2)\(2x^2+3x+5\leqq 0\)

\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =3^2-4×2×5\)
\(\ \ \ =-31\)
解なし

【連立二次不等式の解】

(1)それぞれの二次不等式の解を求める。
(2)求めた解を数直線に表し、共通部分を解とする。

【例題】次の連立不等式を解きなさい。

(1)\begin{cases}x^2+4x-5\leqq 0 & (1)\\ x^2+3x>0 & (2)\end{cases}

(1)を解くと、
\(-5\leqq x\leqq 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -3,0< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-5\leqq x< -3,0< x\leqq 1\)

(2)\begin{cases}2x^2-3x-9\leqq 0 & (1)\\ x^2-2x+1>0 & (2)\end{cases}

(1)を解くと、
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq x\leqq 3\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x=1\)以外の全ての実数・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq x< 1,1< x\leqq 3\)