【高校数学Ⅰ】2-4-1 二次不等式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「二次不等式」について要点をまとめています。共有点の個数による場合分けを整理し、連立二次不等式の解法まで段階的に学べます。基礎理解から応用まで、定期テストや入試対策に役立つ内容です。
二次不等式の解き方と場合分け
共有点が2個ある場合
【\(x\)軸との共有点が\(2\)個のとき】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解を\(α,β(α<β)\)とする。
(1)\(ax^2+bx+c>0\)のとき
\(x< α,β< x\)
(2)\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき
\(x\leqq α,β\leqq x\)
(3)\(ax^2+bx+c<0\)のとき
\(α< x <β\)
(4)\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき
\(α\leqq x \leqq β\)
【例題】次の二次不等式を答えなさい。
\(\displaystyle x< \frac{1}{2},2< x\)
\(2-\sqrt{3}\leqq x \leqq 2+\sqrt{3}\)
共有点が1個ある場合
【\(x\)軸との共有点が\(1\)個のとき】
二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の重解を\(γ\)とする。
(1)\(ax^2+bx+c>0\)のとき
\(x< γ,γ< x\)
(2)\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき
\(x\)は全ての実数
(3)\(ax^2+bx+c<0\)のとき
解なし
(4)\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき
\(x=γ\)
【例題】次の二次不等式を答えなさい。
\(3\)以外の全ての実数
\((2x-1)^2\leqq 0\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)
共有点が0個ある場合
【\(x\)軸との共有点が\(0\)個のとき】
(1)\(ax^2+bx+c>0\)、\(ax^2+bx+c\geqq 0\)のとき
\(x\)は全ての実数
(2)\(ax^2+bx+c<0\)、\(ax^2+bx+c\leqq 0\)のとき
解なし
【例題】次の二次不等式を答えなさい。
\(\ \ \ =2^2-4×1×9\)
\(\ \ \ =-32\)
\(x\)は全ての実数
\(\ \ \ =3^2-4×2×5\)
\(\ \ \ =-31\)
解なし
連立二次不等式の解法
【連立二次不等式の解】
(1)それぞれの二次不等式の解を求める。
(2)求めた解を数直線に表し、共通部分を解とする。
【例題】次の連立不等式を解きなさい。
\(-5\leqq x\leqq 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -3,0< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-5\leqq x< -3,0< x\leqq 1\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq x\leqq 3\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x=1\)以外の全ての実数・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq x< 1,1< x\leqq 3\)