【高校数学Ⅰ】2-4-1 二次不等式｜問題集
1.次の二次不等式を解きなさい。
(1)\((x-1)(x-3)>0\)
\(x< 1,3< x\)
(2)\((x+2)(x-5)<0\)
\(-2< x< 5\)
(3)\(x(x+1)\leqq 0\)
\(-1\leqq x\leqq 0\)
(4)\((2x+1)(x+1)\geqq 0\)
\(\displaystyle x\leqq -1,-\frac{1}{2}\leqq x\)
(5)\(x^2+5x+6>0\)
\((x+3)(x+2)>0\)
\(x\leqq -3,-2\leqq x\)
\(x\leqq -3,-2\leqq x\)
(6)\(x^2\leqq 9\)
\(x^2-9\leqq 0\)
\((x+3)(x-3)\leqq 0\)
\(-3\leqq x\leqq 3\)
\((x+3)(x-3)\leqq 0\)
\(-3\leqq x\leqq 3\)
(7)\(2x^2-5x+2\geqq 0\)
\((2x-1)(x-2)\geqq 0\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{1}{2},2\leqq x\)
\(\displaystyle x\leqq \frac{1}{2},2\leqq x\)
(8)\(2x^2+5x+3< 0\)
\((2x+3)(x+1)< 0\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}< x< -1\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}< x< -1\)
(9)\(-2x^2+5x+3< 0\)
\(2x^2-5x-3> 0\)
\((2x+1)(x-3)> 0\)
\(\displaystyle x< -\frac{1}{2},3< x\)
\((2x+1)(x-3)> 0\)
\(\displaystyle x< -\frac{1}{2},3< x\)
(10)\(-3x^2+5x+2\geqq 0\)
\(3x^2-5x-2\leqq 0\)
\((3x+1)(x-2)\leqq 0\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqq x\leqq 2\)
\((3x+1)(x-2)\leqq 0\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqq x\leqq 2\)
(11)\(x^2+2x-1\geqq 0\)
\(-1-\sqrt{2}\leqq x\leqq -1+\sqrt{2}\)
(12)\(x^2-5>0\)
\(x< -\sqrt{5},\sqrt{5}< x\)
(13)\(x^2-4x+4>0\)
\((x-2)^2> 0\)
\(x< 2,2< x\)
\(x< 2,2< x\)
(14)\(x^2-10x+25<0\)
\((x-5)^2< 0\)
解なし
解なし
(15)\(x^2+6x+9\leqq 0\)
\((x+3)^2\leqq 0\)
\(x=-3\)
\(x=-3\)
(16)\(4x^2+4x+1\geqq 0\)
\((2x+1)^2\geqq 0\)
\(x\)は全ての実数
\(x\)は全ての実数
(17)\(x^2-4x+6>0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-4)^2-4×1×6\)
\(\ \ \ =-8\)
\(x\)は全ての実数
\(\ \ \ =(-4)^2-4×1×6\)
\(\ \ \ =-8\)
\(x\)は全ての実数
(18)\(x^2-2x+2\leqq 0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =-4\)
解なし
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =-4\)
解なし
(19)\(2x^2+4x+3< 0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =4^2-4×2×3\)
\(\ \ \ =-8\)
解なし
\(\ \ \ =4^2-4×2×3\)
\(\ \ \ =-8\)
解なし
(20)\(2x^2+8x+10\geqq 0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =8^2-4×2×10\)
\(\ \ \ =-16\)
\(x\)は全ての実数
\(\ \ \ =8^2-4×2×10\)
\(\ \ \ =-16\)
\(x\)は全ての実数
(21)\(3x^2+5x-2\geqq 0\)
\((3x-1)(x+2)\geqq 0\)
\(\displaystyle x\leqq -2,\frac{1}{3}\leqq x\)
\(\displaystyle x\leqq -2,\frac{1}{3}\leqq x\)
(22)\(-x^2+x-1\geqq 0\)
\(x^2-x+1\leqq 0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-1)^2-4×1×1\)
\(\ \ \ =-3\)
解なし
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-1)^2-4×1×1\)
\(\ \ \ =-3\)
解なし
(23)\(3x^2-2\sqrt{3}x+1\leqq 0\)
\(\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(24)\(x^2-3x+2> 2x^2-x\)
\(x^2+2x-2< 0\)
\(-1-\sqrt{3}< x< -1+\sqrt{3}\)
\(-1-\sqrt{3}< x< -1+\sqrt{3}\)
(25)\(x^2+x-12>0\)
\((x+4)(x-3)>0\)
\(x<-4,3< x\)
\(x<-4,3< x\)
(26)\(2\geqq x^2\)
\(x^2-2\leqq 0\)
\(-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}\)
\(-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}\)
(27)\(x^2+4x+4\leqq 0\)
\((x+2)^2\leqq 0\)
\(x=-2\)
\(x=-2\)
(28)\(x^2-2x+2< 0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =-4\)
解なし
\(\ \ \ =(-2)^2-4×1×2\)
\(\ \ \ =-4\)
解なし
(29)\(2x^2\leqq 7x\)
\(x(2x-7)\leqq 0\)
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{7}{2}\)
\(\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{7}{2}\)
(30)\(\displaystyle x^2-x+\frac{1}{4}>0\)
\(4x^2-4x+1> 0\)
\((2x-1)^2> 0\)
\(\displaystyle x< \frac{1}{2},\frac{1}{2}< x\)
\((2x-1)^2> 0\)
\(\displaystyle x< \frac{1}{2},\frac{1}{2}< x\)
2.次の連立不等式を解きなさい。
(1)\(\left\{\begin{array}{l}x^2-5x+4\leqq 0&(1) \\ x^2-2x-3>0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(1\leqq x\leqq 4\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -1,3< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(3< x\leqq 4\)
\(1\leqq x\leqq 4\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -1,3< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(3< x\leqq 4\)
(2)\(\left\{\begin{array}{l}x^2+3x> 0&(1) \\ x^2+4x-12\leqq 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(x< -3,0< x\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(-6\leqq x\leqq 2\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-6\leqq x< -3,0< x\leqq 2\)
\(x< -3,0< x\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(-6\leqq x\leqq 2\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-6\leqq x< -3,0< x\leqq 2\)
(3)\(\left\{\begin{array}{l}2x^2-7x+6\leqq 0&(1) \\ x^2> 3&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqq x\leqq 2\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -\sqrt{3},\sqrt{3}< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\sqrt{3}< x\leqq 2\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqq x\leqq 2\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< -\sqrt{3},\sqrt{3}< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\sqrt{3}< x\leqq 2\)
(4)\(\left\{\begin{array}{l}x^2+2x-3\leqq 0&(1) \\ x^2+x-1> 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(-3\leqq x\leqq 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle x< \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -3\leqq x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}< x\leqq 1\)
\(-3\leqq x\leqq 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle x< \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -3\leqq x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}< x\leqq 1\)
(5)\(\left\{\begin{array}{l}x^2-x-2< 0&(1) \\ x^2-x> 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(-1< x< 2\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< 0,1< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-1< x< 0,1< x< 2\)
\(-1< x< 2\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(x< 0,1< x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(-1< x< 0,1< x< 2\)
(6)\(\left\{\begin{array}{l}2x^2+5x< 3&(1) \\ 3x^2+11x< 4&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(\displaystyle -3< x< \frac{1}{2}\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle -4< x< \frac{1}{3}\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -3< x< \frac{1}{3}\)
\(\displaystyle -3< x< \frac{1}{2}\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle -4< x< \frac{1}{3}\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -3< x< \frac{1}{3}\)
(7)\(\left\{\begin{array}{l}x^2+x-2< 0&(1) \\ x^2+x-1\geqq 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(-2< x< 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle x\leqq \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leqq x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -2< x\leqq \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leqq x< 1\)
\(-2< x< 1\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(\displaystyle x\leqq \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leqq x\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(\displaystyle -2< x\leqq \frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\leqq x< 1\)
(8)\(\left\{\begin{array}{l}x^2-10x+20< 0&(1) \\ -x^2+6x-3> 0&(2)\end{array}\right.\)
(1)を解くと、
\(5-\sqrt{5}< x< 5+\sqrt{5}\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(3-\sqrt{6}< x< 3+\sqrt{6}\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(5-\sqrt{5}< x< 3+\sqrt{6}\)
\(5-\sqrt{5}< x< 5+\sqrt{5}\)・・・(3)
(2)を解くと、
\(3-\sqrt{6}< x< 3+\sqrt{6}\)・・・(4)
よって、(3)、(4)より
\(5-\sqrt{5}< x< 3+\sqrt{6}\)
(9)\(5< x^2-4x\leqq 6-3x\)
\(5< x^2-4x\)を解くと、
\(x< -1,5< x\)・・・(1)
\(x^2-4x\leqq 6-3x\)を解くと、
\(-2\leqq x\leqq 3\)・・・(2)
よって、(1)、(2)より
\(-2\leqq x< -1\)
\(x< -1,5< x\)・・・(1)
\(x^2-4x\leqq 6-3x\)を解くと、
\(-2\leqq x\leqq 3\)・・・(2)
よって、(1)、(2)より
\(-2\leqq x< -1\)
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