1.次の二次方程式を解きなさい。
(1)\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\)
(2)\(-2x^2-5x+3=0\)
\((x+3)(2x-1)=0\)
\(\displaystyle x=-3,\frac{1}{2}\)
(3)\(4x^2-4x+1=0\)
\((2x-1)^2=0\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)
(4)\(x^2-x-1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4×1×(-1)}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
(5)\(x^2+2\sqrt{3}x+3=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{(2\sqrt{3})^2-4×1×3}}{2×1}\)
\(\ \ =-\sqrt{3}\)
(6)\(x^2-2\sqrt{3}x+2=0\)
\(\displaystyle x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^2-4×1×2}}{2×1}\)
\(\ \ =\sqrt{3}\pm1\)
(7)\(x^2-2x-5=0\)
\(\displaystyle x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-5)}}{2×1}\)
\(\ \ =1\pm\sqrt{6}\)
(8)\(3x=1-2x^2\)
\(2x^2+3x-1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-1)}}{2×2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\)
(9)\((x-6)(x+2)=9\)
\(x^2-4x-12=9\)
\(x^2-4x-21=0\)
\((x+3)(x-7)=0\)
\(x=-3,7\)
(10)\(x^2+(a+2)x+2a=0\)
\((x+a)(x+2)=0\)
\(x=-a,-2\)
(11)\(x^2-5x-6=0\)
\((x+1)(x-6)=0\)
\(x=-1,6\)
(12)\(10x^2-13x-3=0\)
\((2x-3)(5x+1)=0\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{2},-\frac{1}{5}\)
(13)\(2x^2-3x-1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×2×(-1)}}{2×2}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)
(14)\(x^2-6x+7=0\)
\(\displaystyle x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4×1×7}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =3\pm\sqrt{2}\)
(15)\(x^2-10x+24=0\)
\((x-4)(x-6)=0\)
\(x=4,6\)
(16)\(14x^2+29x-15=0\)
\((2x+5)(7x-3)=0\)
\(\displaystyle x=-\frac{5}{2},\frac{3}{7}\)
(17)\(x^2+5x+5=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×1×5}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}\)
(18)\(x^2-6x-6=0\)
\(\displaystyle x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4×1×(-6)}}{2×1}\)
\(\displaystyle \ \ =3\pm\sqrt{15}\)
2.次の二次方程式の実数解の個数を求めなさい。
(1)\(x^2+3x-5=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =3^2-4×1×(-5)\)
\(\ \ \ =29\)
よって、実数解は\(2\)個
(2)\(3x^2-5x+4=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-5)^2-4×3×4\)
\(\ \ \ =-23\)
よって、実数解は\(0\)個
(3)\(3x^2+2\sqrt{3}x+1=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(2\sqrt{3})^2-4×3×1\)
\(\ \ \ =0\)
よって、実数解は\(1\)個
(4)\(x^2+x-1=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =1^2-4×1×(-1)\)
\(\ \ \ =5\)
よって、実数解は\(2\)個
(5)\(x^2+x+1=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =1^2-4×1×1\)
\(\ \ \ =-3\)
よって、実数解は\(0\)個
(6)\(\displaystyle -2x^2+6x-\frac{9}{2}=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\displaystyle \ \ \ =6^2-4×(-2)×\left(-\frac{9}{2}\right)\)
\(\ \ \ =0\)
よって、実数解は\(1\)個
(7)\(\displaystyle x^2-\frac{9}{2}x+5=0\)
\(D=b^2-4ac\)
\(\displaystyle \ \ \ =\left(-\frac{9}{2}\right)^2-4×1×5\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{4}\)
よって、実数解は\(2\)個
3.次の二次方程式が重解を持つとき、定数\(m\)を求めなさい。また、そのときの二次方程式の重解を求めなさい。
(1)\(x^2+mx+4=0\)
判別式を求める。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =m^2-4×1×4\)
\(\ \ \ =m^2-16\)
重解を持つことから、判別式=0なので、
\(m^2-16=0\)
\(m=-4,4\)
\(m=-4\)のとき、\(x^2-4x+4=0\)
\(x=2\)
\(m=4\)のとき、\(x^2+4x+4=0\)
\(x=-2\)
【答】
\(m=-4\)のとき、重解\(x=2\)
\(m=4\)のとき、重解\(x=-2\)
(2)\(x^2-mx+m+3=0\)
判別式を求める。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(-m)^2-4×1×(m+3)\)
\(\ \ \ =m^2-4m-12\)
\(\ \ \ =(m+2)(m-6)\)
重解を持つことから、判別式=0なので、
\((m+2)(m-6)=0\)
\(m=-2,6\)
\(m=-2\)のとき、\(x^2+2x+1=0\)
\(x=-1\)
\(m=6\)のとき、\(x^2-6x+9=0\)
\(x=3\)
【答】
\(m=-2\)のとき、重解\(x=-1\)
\(m=6\)のとき、重解\(x=3\)
(3)\(x^2+(m+2)x+m+5=0\)
判別式を求める。
\(D=b^2-4ac\)
\(\ \ \ =(m+2)^2-4×1×(m+5)\)
\(\ \ \ =m^2-16\)
\(\ \ \ =(m+4)(m-4)\)
重解を持つことから、判別式=0なので、
\((m+4)(m-4)=0\)
\(m=-4,4\)
\(m=-4\)のとき、\(x^2-2x+1=0\)
\(x=1\)
\(m=4\)のとき、\(x^2+6x+9=0\)
\(x=-3\)
【答】
\(m=-4\)のとき、重解\(x=1\)
\(m=4\)のとき、重解\(x=-3\)