1-3-2 絶対値を含む方程式と不等式(要点)

【絶対値を含む方程式と不等式】

\(a>0\)のとき、

1.方程式\(|x|=a\)の解は
\(x=\pm a\)

2.不等式\(|x| < a \)の解は
\(-a < x < a\) 3.不等式\(|x| > a \)の解は
\(x < -a,a < x\)

【例題】次の方程式、不等式を解きなさい。

(1)\(|x|=2\)

\(x=\pm2\)

(2)\(|x|>4\)

\(x < -4,4 < x\)

(3)\(|x|<3\)

\(-3 < x < 3\)

(4)\(|x-1|=4\)

\(x-1=\pm4\)
\(x=5,-3\)

(5)\(|x+3|<7\)

\(-7 < x+3 < 7\)
\(-10 < x < 4\)

(6)\(|x-2|>5\)

\(x-2 < -5, 5 < x-2\)
\(x < -3, 7 < x\)

【例題】次の方程式、不等式を解きなさい。

(1)\(|x-3|=4x\)

(a)\(x-3\geqq0\)のとき、\(x\geqq3\)
\(x-3=4x\)
\(x=-1\)

よって、\(x=-1\)は不適。
(b)\(x-3 < 0\)のとき、\(x < 3\)
\(-(x-3)=4x\)
\(-5x=-3\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)

よって、\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)は適する。
(a)、(b)より、
【答】\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)

(2)\(|x-3| < 4x\)

(a)\(x-3\geqq0\)のとき、\(x\geqq3\)
\(x-3 < 4x\)
\(x > -1\)

よって、\(x\geqq3\)
(b)\(x-3 < 0\)のとき、\(x < 3\)
\(-(x-3) < 4x\)
\(\displaystyle x > \frac{3}{5}\)

よって、\(\displaystyle \frac{3}{5} < x <3\)
(a)、(b)より、
【答】\(\displaystyle x > \frac{3}{5}\)