【高校数学Ⅰ】1-3-2 絶対値を含む方程式と不等式｜要点まとめ
このページでは、高校数学Ⅰの「絶対値を含む方程式と不等式」について要点を整理しています。絶対値の性質を確認し、場合分けによる解法を例題つきで解説。基礎の理解から定期テスト対策まで幅広く活用できます。
絶対値を含む方程式と不等式の基本解法
【絶対値を含む方程式と不等式】
\(a>0\)のとき、
1.方程式\(|x|=a\)の解は
\(x=\pm a\)
2.不等式\(|x|< a \)の解は
\(-a< x< a\)
3.不等式\(|x|> a \)の解は
\(x< -a,a< x\)
【例題】次の方程式、不等式を解きなさい。
(1)\(|x|=2\)
\(x=\pm2\)
(2)\(|x|>4\)
\(x< -4,4< x\)
(3)\(|x|<3\)
\(-3< x< 3\)
(4)\(|x-1|=4\)
\(x-1=\pm4\)
\(x=5,-3\)
\(x=5,-3\)
(5)\(|x+3|<7\)
\(-7< x+3< 7\)
\(-10< x< 4\)
\(-10< x< 4\)
(6)\(|x-2|>5\)
\(x-2< -5, 5< x-2\)
\(x< -3,7< x\)
\(x< -3,7< x\)
絶対値の性質と場合分けによる解法
【例題】次の方程式、不等式を解きなさい。
(1)\(|x-3|=4x\)
(a)\(x-3\geqq0\)のとき、\(x\geqq3\)
\(x-3=4x\)
\(x=-1\)
よって、\(x=-1\)は不適。
(b)\(x-3< 0\)のとき、\(x< 3\)
\(-(x-3)=4x\)
\(-5x=-3\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)
よって、\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)は適する。
(a)、(b)より、
\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)
\(x-3=4x\)
\(x=-1\)
よって、\(x=-1\)は不適。
(b)\(x-3< 0\)のとき、\(x< 3\)
\(-(x-3)=4x\)
\(-5x=-3\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)
よって、\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)は適する。
(a)、(b)より、
\(\displaystyle x=\frac{3}{5}\)
(2)\(|x-3|< 4x\)
(a)\(x-3\geqq0\)のとき、\(x\geqq3\)
\(x-3< 4x\)
\(x> -1\)
よって、\(x\geqq3\)
(b)\(x-3< 0\)のとき、\(x< 3\)
\(-(x-3)< 4x\)
\(\displaystyle x> \frac{3}{5}\)
よって、\(\displaystyle \frac{3}{5}< x <3\)
(a)、(b)より、
\(\displaystyle x> \frac{3}{5}\)
\(x-3< 4x\)
\(x> -1\)
よって、\(x\geqq3\)
(b)\(x-3< 0\)のとき、\(x< 3\)
\(-(x-3)< 4x\)
\(\displaystyle x> \frac{3}{5}\)
よって、\(\displaystyle \frac{3}{5}< x <3\)
(a)、(b)より、
\(\displaystyle x> \frac{3}{5}\)
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