【線形代数】6-2-1 線形変換｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「線形写像」および「線形変換」の基本概念をわかりやすく解説します。行列が定める線形写像の定義や線形性（加法性・スカラー倍）をはじめ、平面・空間における回転移動、対称移動、正射影、鏡映変換の各行列と具体的な例題・解答をコンパクトにまとめています。
線形写像
【行列から定まる写像】
\(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)に対して、写像\(T_A:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m\)を
\(T_A(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}\ \ (\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n)\)
で定義する。この\(T_A\)を行列\(A\)が定める\(\mathbb{R}^n\)から\(\mathbb{R}^m\)への線形写像という。
特に\(n=m\)の場合には、\(T_A\)を\(\mathbb{R}^n\)の線形変換という。
【線形性】
\(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)とすると、任意の\(\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\)と\(\alpha\in\mathbb{R}\)に対して
\(T_A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T_A(\mathbf{x})+T_A(\mathbf{y})\)
\(T_A(\alpha\mathbf{x})=\alpha T_A(\mathbf{x})\)
が成り立つ。この2つの性質を線形性という。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2\cdot3+1\cdot(-2) \\ -1\cdot3+3\cdot(-2)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}4 \\ -9\end{pmatrix}\)
線形変換
平面内の回転移動
【回転移動の線形変換】
原点を中心として各点を角\(\theta\)だけ回転する線形変換は
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\)を回転行列という。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(R=\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
移した後の座標は
\(\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
よって、求める座標は \((1, \sqrt{3})\)
平面内の対称移動
【座標軸に対する対称移動の線形変換】
\(x\)軸に関する対称移動の線形変換は
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)を\(x\)軸の反転行列という。
\(y\)軸に関する対称移動の線形変換は
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)を\(y\)軸の反転行列という。
【原点を通る直線の対称移動の線形変換】
\(y=mx\)に関する対称移動の線形変換は
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
【例題】次の問いに答えなさい。
\(m^2+1=2^2+1=5\) より、
\(\displaystyle M=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1-2^2 & 2\cdot2 \\ 2\cdot2 & 2^2-1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3 & 4 \\ 4 & 3\end{pmatrix}\)
平面内の正射影
【正射影】
\(l:y=mx\)に関して、点\((a,b)\)から直線\(l\)に下ろした線形変換を正射影といい
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix}1 & m \\ m & m^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix}1 & m \\ m & m^2\end{pmatrix}\)を正射影行列という。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(\displaystyle P=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\)
点\((1,3)\)の像は
\(\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3 \\ 2\cdot1+4\cdot3\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7 \\ 14\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\frac{7}{5} \\ \frac{14}{5}\end{pmatrix}\)
よって、座標は\(\displaystyle \left(\frac{7}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
空間内の鏡映変換
【鏡映変換】
単位法線ベクトル\(\mathbf{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}(a^2+b^2+c^2=1)\)をもつ平面\(H\)に関して、\(H\)に関する対称移動の線形変換を鏡映変換といい
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2a^2 & -2ab & -2ac \\ -2ab & 1-2b^2 & -2bc \\ -2ac & -2bc & 1-2c^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}1-2a^2 & -2ab & -2ac \\ -2ab & 1-2b^2 & -2bc \\ -2ac & -2bc & 1-2c^2\end{pmatrix}\)を鏡映行列という。